DIM : la misura esterna di ogni insieme aperto è > 0

[Clipsony]

Ciao ragazzi, la prof ha assegnato il seguente come esercizio banale:
Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ R^n $ ha misura esterna maggiore di zero.

Ci sto sopra da qualche giorno e ancora non sono riuscito a trovare una strada.
Ho provato sia per assurdo che tramite ricoprimenti ad hoc, sempre sfruttando la proprietà che in un aperto ogni punto è interno.. però, niente, non ci sono riuscito. Qualcuno può darmi una mano?

[killing_buddha]

In $RR^2$ un aperto non vuoto contiene una palla di raggio $\epsilon$ e centro $x_0$; questa ha misura $\pi \epsilon^2 > 0$, e la misura è monotona (se $E\subseteq F$ sono eventi della tua $\sigma$-algebra, $\mu(E)\le \mu(F)$). In $RR^n$ fai la stessa cosa, è solo più complicato scrivere l'ipervolume di una ipersfera in funzione del raggio.

[Clipsony]

Ciao, grazie per la risposta, però ho solo un dubbio: come mai sono sicuro che la palla abbia misura uguale al suo volume n-dimensionale? Sapevo che ciò valesse solo per i plurintervalli.. Dunque significa che riesco a vedere la palla come un plurintervallo, oppure deriva da un’altra dimostrazione?

[killing_buddha]

Sì, meglio ancora, la sfera contiene ovviamente un plurintervallo.

[Clipsony]

Perfetto, tutto chiaro, grazie mille