Difficoltà con sviluppo in serie di Laurent
Ciao a tutti, ho dei problemi con dei sviluppi di Laurent che secondo me sono banali ma a quanto pare non abbastanza per non averci problemi.
L'esercizio recita: Per ciascuna delle seguenti funzioni si scrivano i termini con potenza negativa dei corrispondenti sviluppi in serie di Laurent centrati in z = 0 (qualora esistano), specificandone la natura della singolarità in z = 0.
$f(z)=1/(z^3sinhz)$
Sviluppo in serie di Taylor con centro in $z_0=0$ e ottengo:
$sinh(z)= z+z^3/6+z^5/120+...=\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!)$
Invece il termine $1/z^3$ non lo tocco perché è già in una forma corretta.
Quindi lo sviluppo di Laurent di $f(x)$ sarà di questo tipo:
$f(z)=1/(z^3\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!))$
Perciò ci sono infiniti termini nella parte principale (ossia con potenza negativa). Ma so che è sbagliato perché nella soluzione sul testo dell'esame dice che si sono solo due termini con potenza negativa, ossia $f(z)=1/z^4-1/(6z^2)+...$.
Cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo!
L'esercizio recita: Per ciascuna delle seguenti funzioni si scrivano i termini con potenza negativa dei corrispondenti sviluppi in serie di Laurent centrati in z = 0 (qualora esistano), specificandone la natura della singolarità in z = 0.
$f(z)=1/(z^3sinhz)$
Sviluppo in serie di Taylor con centro in $z_0=0$ e ottengo:
$sinh(z)= z+z^3/6+z^5/120+...=\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!)$
Invece il termine $1/z^3$ non lo tocco perché è già in una forma corretta.
Quindi lo sviluppo di Laurent di $f(x)$ sarà di questo tipo:
$f(z)=1/(z^3\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!))$
Perciò ci sono infiniti termini nella parte principale (ossia con potenza negativa). Ma so che è sbagliato perché nella soluzione sul testo dell'esame dice che si sono solo due termini con potenza negativa, ossia $f(z)=1/z^4-1/(6z^2)+...$.
Cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo!
Risposte
Sbagli perché non hai scritto la tua funzione in forma di serie di Laurent, in quanto questo:
è il reciproco di una serie di potenze a esponente intero, mentre una serie di Laurent è una serie di potenze a esponente intero. In poche parole, \(1/(a+b) \ne 1/a+1/b\).
Suggerimento:\[
\frac{1}{z^3\left(z+\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}+\dots\right)}=\frac{1}{z^4} \cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^2}{6}-\frac{z^4}{120}-\dots\right)}
\]e puoi riscrivere in maniera opportuna il secondo fattore del prodotto.
"Darius00":
$f(z)=1/(z^3\sum_{n=0}^infty z^(2n+1)/((2n+1)!))$
è il reciproco di una serie di potenze a esponente intero, mentre una serie di Laurent è una serie di potenze a esponente intero. In poche parole, \(1/(a+b) \ne 1/a+1/b\).
Suggerimento:\[
\frac{1}{z^3\left(z+\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}+\dots\right)}=\frac{1}{z^4} \cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^2}{6}-\frac{z^4}{120}-\dots\right)}
\]e puoi riscrivere in maniera opportuna il secondo fattore del prodotto.
"Mephlip":
è il reciproco di una serie di potenze a esponente intero, mentre una serie di Laurent è una serie di potenze a esponente intero. In poche parole, \( 1/(a+b) \ne 1/a+1/b \).
Ti ringrazio Mephlip per avermi aiutato a capire l'errore e a svolgere l'esercizio. Buona giornata!
Ciao Darius00,
Immagino che sia un errore di battitura, perché ovviamente è $f(z) = 1/(z^3sinhz) $, ma hai ripetuto lo stesso errore anche nel prosieguo dell'OP...
Potresti anche dare un'occhiata a questo thread.
"Darius00":
$f(x)=1/(z^3sinhz) $
Immagino che sia un errore di battitura, perché ovviamente è $f(z) = 1/(z^3sinhz) $, ma hai ripetuto lo stesso errore anche nel prosieguo dell'OP...
Potresti anche dare un'occhiata a questo thread.
Ciao, si errore di battitura. Non sono ancora abituato all'analisi complessa! Provvedo subito a correggere.
Grazie per il link, stupidamente non ho cercato prima di porre la domanda, altrimenti avrei evitato.
Grazie per il link, stupidamente non ho cercato prima di porre la domanda, altrimenti avrei evitato.
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