Differenza tra insiemi completi e basi
Per uno spazio vettoriale $X$ di dimensione infinita, dato un insieme di vettori linearmente indipendenti (anche numerabile) \(\displaystyle \{l_1,l_2,...\} \) completo per \(\displaystyle X \), non è automatico affermare che \(\displaystyle \{l_1,l_2,...\} \) è anche una base per $X$.
Per mostrare che questi due concetti sono distinti, il libro che sto leggendo (Zorich, Mathematical Analysis II, pag. 509, Example 14) prende in considerazione lo spazio vettoriale \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \) delle funzioni continue a dominio \(\displaystyle [-1,1] \) con prodotto scalare \(\displaystyle \left \langle f,g \right \rangle=\int _{[-1,1]} f(x)g(x)\mathrm{d}x \) e l'insieme (completo per \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \) ) di vettori \(\displaystyle \{1,x,x^2,...\} \).
La dimostrazione che propone è la seguente:
Purtroppo ho un primo dubbio sulla parte iniziale, in particolare come fa ad ottenere la condizione che \(\displaystyle \left \| \alpha_kx^k \right \|\to 0 \).
Io avrei ragionato così come segue.
Siccome per ipotesi \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k \) converge ad un vettore di \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \), nel senso della norma indotta dal prodotto scalare prima definito, io posso dire che tale vettore deve avere norma finita, per cui:
\(\displaystyle \left \|\sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k\right \|^2= \left \langle \sum_{k=0}^{\infty}\alpha_k x^k,\sum_{m=0}^{\infty}\alpha_m x^m \right \rangle=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\alpha_k\alpha_m \int_{-1}^{1}x^{k+m}\mathrm{d}x =\sum_{k+m\text{ pari}}^{\infty}\alpha_k\alpha_m \frac{2}{k+m+1}\)
deve convergere. Ma l'ultima espressione alla fine è un doppio limite e non arrivo facilmente alla condizione che propone il libro.
Forse un altro modo più immediato, che mi è venuto in mente proprio mentre finivo di scrivere questo post, potrebbe essere quello di dire che siccome \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k \) converge a un vettore di \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \), allora vale il criterio generale di Cauchy per spazi metrici (non serve che sia nemmeno completo per l'implicazione che mi serve), per il quale:
\(\displaystyle n>m>N_\epsilon \Rightarrow \left \| \sum_{k=m+1}^{n} \alpha_kx^k \right \|<\epsilon\)
quindi in particolare prendendo \(\displaystyle n=m+1 \) deve essere che:
\(\displaystyle m>N_\epsilon \Rightarrow \left \|\alpha_{m+1}x^{m+1} \right \|<\epsilon\)
che è proprio quanto dice il libro.
Così può andare? E' questo il miglior modo di farlo?
Per mostrare che questi due concetti sono distinti, il libro che sto leggendo (Zorich, Mathematical Analysis II, pag. 509, Example 14) prende in considerazione lo spazio vettoriale \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \) delle funzioni continue a dominio \(\displaystyle [-1,1] \) con prodotto scalare \(\displaystyle \left \langle f,g \right \rangle=\int _{[-1,1]} f(x)g(x)\mathrm{d}x \) e l'insieme (completo per \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \) ) di vettori \(\displaystyle \{1,x,x^2,...\} \).
La dimostrazione che propone è la seguente:
Purtroppo ho un primo dubbio sulla parte iniziale, in particolare come fa ad ottenere la condizione che \(\displaystyle \left \| \alpha_kx^k \right \|\to 0 \).
Io avrei ragionato così come segue.
Siccome per ipotesi \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k \) converge ad un vettore di \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \), nel senso della norma indotta dal prodotto scalare prima definito, io posso dire che tale vettore deve avere norma finita, per cui:
\(\displaystyle \left \|\sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k\right \|^2= \left \langle \sum_{k=0}^{\infty}\alpha_k x^k,\sum_{m=0}^{\infty}\alpha_m x^m \right \rangle=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\alpha_k\alpha_m \int_{-1}^{1}x^{k+m}\mathrm{d}x =\sum_{k+m\text{ pari}}^{\infty}\alpha_k\alpha_m \frac{2}{k+m+1}\)
deve convergere. Ma l'ultima espressione alla fine è un doppio limite e non arrivo facilmente alla condizione che propone il libro.
Forse un altro modo più immediato, che mi è venuto in mente proprio mentre finivo di scrivere questo post, potrebbe essere quello di dire che siccome \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\alpha_kx^k \) converge a un vettore di \(\displaystyle C_2([-1,1];\mathbb{R}) \), allora vale il criterio generale di Cauchy per spazi metrici (non serve che sia nemmeno completo per l'implicazione che mi serve), per il quale:
\(\displaystyle n>m>N_\epsilon \Rightarrow \left \| \sum_{k=m+1}^{n} \alpha_kx^k \right \|<\epsilon\)
quindi in particolare prendendo \(\displaystyle n=m+1 \) deve essere che:
\(\displaystyle m>N_\epsilon \Rightarrow \left \|\alpha_{m+1}x^{m+1} \right \|<\epsilon\)
che è proprio quanto dice il libro.
Così può andare? E' questo il miglior modo di farlo?
Risposte
Che vuol dire che $sum alpha_n x^n$ converge in media quadratica?
Capito questo sei più o meno a posto... Ed è quello che hai fatto usando Cauchy.
Ma perché ti accanisci su questo testo?
È puro feticismo o c'è dell'altro?
Capito questo sei più o meno a posto... Ed è quello che hai fatto usando Cauchy.
Ma perché ti accanisci su questo testo?
È puro feticismo o c'è dell'altro?
Perché l'ho cominciato e non mi va di lasciare le cose a metà cambiando libro.
Grazie per avermi aiutato.
Grazie per avermi aiutato.
Feticismo, allora. 
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