Differenza Tra Distribuzione e Misura
Salve,se non vi reca disturbo,potreste spiegarmi la differenza tra distribuzione e misura,dal punto di vista delle proprietà e delle derivate?
Risposte
Mmmmm quali distribuzioni? Di probabilità? O nel senso di "funzioni generalizzate"?
Per quanto riguarda una misura:
dato un insieme $\Omega$ e una sigma algebra $\mathcal{A}$ in $\Omega$ definiamo misura una funzione $\mu : \mathcal{A} \to \mathbb{R}^{+}$ tale per cui se $(A_n)_{n \ge 1} \in \mathcal{A}$ e sono disgiunti allora $\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n ) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$.
Derivata di una misura (Teorema di Radon Nikodym):
Data una misura $\mu$ su $(\Omega, \mathcal{A})$ assolutamente continua rispetto a $\nu$ misura $\sigma$-finita esiste una funzione f misurabile t.c.
$$ \mu(A) = \int_A f d\nu \quad \quad \forall A \in \mathcal{A}. $$
Si dice che $f$ è la derivata di Radon-Nikodym di $\mu$ e si indica con $(d\mu)/(d\nu)$.
Per quanto riguarda una misura:
dato un insieme $\Omega$ e una sigma algebra $\mathcal{A}$ in $\Omega$ definiamo misura una funzione $\mu : \mathcal{A} \to \mathbb{R}^{+}$ tale per cui se $(A_n)_{n \ge 1} \in \mathcal{A}$ e sono disgiunti allora $\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n ) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$.
Derivata di una misura (Teorema di Radon Nikodym):
Data una misura $\mu$ su $(\Omega, \mathcal{A})$ assolutamente continua rispetto a $\nu$ misura $\sigma$-finita esiste una funzione f misurabile t.c.
$$ \mu(A) = \int_A f d\nu \quad \quad \forall A \in \mathcal{A}. $$
Si dice che $f$ è la derivata di Radon-Nikodym di $\mu$ e si indica con $(d\mu)/(d\nu)$.
Grazie della risposta,con distribuzioni intendevo "funzioni generalizzate"
p.s:cosa si intende per sigma algebra?
p.s:cosa si intende per sigma algebra?
Sia $\Omega$ un dominio di $\mathbb{R}^n$. Sia $\mathcal{D}(\Omega)$ l'insieme delle funzioni da $\Omega$ in $\mathbb{R}$ a supporto compatto in $\Omega$ e $\mathcal{C}^{\infty}$. Lo spazio delle distribuzioni è il duale di $\mathcal{D}(\Omega)$ quindi è l'insieme dei funzionali lineari e continui da tale spazio in $\mathbb{R}$ ed è indicato con $\mathcal{D}'(\Omega)$.
Ad esempio il funzionale "Delta di Dirac" nello zero ($\delta_0$) è la distribuzione che manda una funzione $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ in $\phi(0)$ cioè la sua valutazione nello 0.
Data una distribuzione $T$ indichiamo con $$ "l'effetto" che ha la distribuzione sulla funzione $\phi$. Ad esempio per la Delta prima citata si scrive $<\delta_0, \phi> = \phi(0)$.
Data una distribuzione $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, la derivata di $T$ è la distribuzione $T'$ tale che
$$ = - \quad \quad \forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) $$
Una sigma algebra, detto alla buona, è una famiglia di insiemi chiusa per complementazione e unione numerabile che contiene l'insieme $\Omega$. Se vuoi una definizione più esplicita su Wikipedia la trovi per bene.
Posso chiederti come mai hai dubbi sulla differenza tra questi due oggetti? Cosa stai studiando?
Ad esempio il funzionale "Delta di Dirac" nello zero ($\delta_0$) è la distribuzione che manda una funzione $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ in $\phi(0)$ cioè la sua valutazione nello 0.
Data una distribuzione $T$ indichiamo con $
Data una distribuzione $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, la derivata di $T$ è la distribuzione $T'$ tale che
$$
Una sigma algebra, detto alla buona, è una famiglia di insiemi chiusa per complementazione e unione numerabile che contiene l'insieme $\Omega$. Se vuoi una definizione più esplicita su Wikipedia la trovi per bene.
Posso chiederti come mai hai dubbi sulla differenza tra questi due oggetti? Cosa stai studiando?
Il problema di queste cose è che è difficile districarsi tra la massa di matematica e capire cosa siano davvero, finché uno non inizia ad "usarle".
Nel mondo delle equazioni differenziali, le misure sono un oggetto usato come estensione del concetto di funzione, per poter includere "funzioni" concentrate su varietà di dimensione più bassa. Ad esempio, c'è la delta di Dirac, che è una "funzione" interamente concentrata su un punto, a volte chiamato "polo". Nella teoria classica del potenziale ci sono i cosidetti "potenziali a uno strato", che sono funzioni interamente concentrate su una superficie, indicando distribuzioni di massa o di carica elettrica. Anche queste sono misure.
A volte occorre calcolare delle derivate di questi oggetti (e qui la derivata di Radon-Nikodym non c'entra molto, il fatto che si usi il termine "derivata" è solo una coincidenza). Questo avviene quando occorre considerare i cosiddetti "dipoli", o i "potenziali a due strati". La teoria delle distribuzioni di Schwarz unifica tutte queste costruzioni ad hoc sotto un unico ombrello, con il vantaggio di essere perfettamente rigorosa. Ma per capire bene da dove vengano queste idee, occorre avere un minimo di dimestichezza con la fisica matematica classica (elettromagnetismo e gravitazione classica in primis).
Nel mondo delle equazioni differenziali, le misure sono un oggetto usato come estensione del concetto di funzione, per poter includere "funzioni" concentrate su varietà di dimensione più bassa. Ad esempio, c'è la delta di Dirac, che è una "funzione" interamente concentrata su un punto, a volte chiamato "polo". Nella teoria classica del potenziale ci sono i cosidetti "potenziali a uno strato", che sono funzioni interamente concentrate su una superficie, indicando distribuzioni di massa o di carica elettrica. Anche queste sono misure.
A volte occorre calcolare delle derivate di questi oggetti (e qui la derivata di Radon-Nikodym non c'entra molto, il fatto che si usi il termine "derivata" è solo una coincidenza). Questo avviene quando occorre considerare i cosiddetti "dipoli", o i "potenziali a due strati". La teoria delle distribuzioni di Schwarz unifica tutte queste costruzioni ad hoc sotto un unico ombrello, con il vantaggio di essere perfettamente rigorosa. Ma per capire bene da dove vengano queste idee, occorre avere un minimo di dimestichezza con la fisica matematica classica (elettromagnetismo e gravitazione classica in primis).
Grazie a tutti e due
@Bremen000:
Io sto studiando da autodidatta e non seguo un percorso preciso,il dubbio mi era sorto quando ho saputo che la delta di dirac puo essere sia considerata come distribuzione sia come misura
@dissonance:
se ho capito bene le distribuzioni che presentano un valore non nullo,su un unico polo,possono essere considerate misure,mentre quando si presenta un dipolo si usa il termine di distribuzione.Giusto?
Se no,potresti,se non ti dispiace,fammi un esempio,della differenza tra questi due oggetti?
@Bremen000:
Io sto studiando da autodidatta e non seguo un percorso preciso,il dubbio mi era sorto quando ho saputo che la delta di dirac puo essere sia considerata come distribuzione sia come misura
@dissonance:
se ho capito bene le distribuzioni che presentano un valore non nullo,su un unico polo,possono essere considerate misure,mentre quando si presenta un dipolo si usa il termine di distribuzione.Giusto?
Se no,potresti,se non ti dispiace,fammi un esempio,della differenza tra questi due oggetti?
Ah perdonatemi, non sapevo di questo collegamento tra teoria della misura e equazioni differenziali, ho fatto corsi super separati io!
@mklplo: Non è proprio così. Le distribuzioni generalizzano le misure e le funzioni, perché comprendono queste e le loro derivate. Il concetto chiave è quello di "ordine" di una distribuzione: le misure e le funzioni sono distribuzioni di ordine zero. Ma non voglio continuare, perché disapprovo il percorso che stai seguendo, stai facendo una abboffata di appunti e roba rimediata in rete e non è il momento per questo. Togliti queste cose dalla testa e ritornaci quando avrai più basi.
ok,grazie
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