Differenza di funzioni misurabili è misurabile?

[ti2012]

Buonasera , chiedo scusa, se dato uno spazio di misura X (con relativa sigma algebra e misura) abbiamo due funzioni f, g (con dominio X e codominio il campo complesso) misurabili, allora esiste qualche teorema che afferma che anche la differenza f-g è misurabile?
Sugli appunti c'è una piccola osservazione nel paragrafo delle funzioni misurabili che afferma che (nelle condizioni sopra scritte) f+g e fg sono misurabili. Non c'è accenno a f-g.
(Ho pensato che potrei usare il fatto che sto nello spazio $L^p$ che è spazio vettoriale e ciò mi assicurerebbe che f-g è misurabile... Però mi sono posta la domanda: Se non fossimo in tale spazio?)
Grazie tantisssssssssimo per la cortese attenzione

[Bremen000]

Prova a dimostrare che la composizione di funzioni misurabili è misurabile...

[dissonance]

Se \(g\) è misurabile, allora \(-g\) è misurabile? E in questo caso, puoi usare lo stesso criterio che ti dice che \(f+g\) è misurabile.

Pregggggggooooooooo tanttttttiisssssssimmmooooo

[dissonance]

"Bremen000":Prova a dimostrare che la composizione di funzioni misurabili è misurabile...

Questa cosa, dipendendo dalla definizione di misurabilità che uno adotta, potrebbe essere falsa. viewtopic.php?p=692889#p692889

[Bremen000]

"dissonance":Questa cosa, dipendendo dalla definizione di misurabilità che uno adotta, potrebbe essere falsa. viewtopic.php?p=692889#p692889

Ho letto! Interessante, non avevo mai visto fare così: ho sempre visto dotare lo spazio dei complessi della sigma algebra dei boreliani (in arrivo e partenza) e quindi non mi si poneva il problema.

In ogni caso io proponevo di verificare che, per ogni $k \in CC$, la funzione
$f_k: (CC, \mathcal{B}(CC)) \to (CC, \mathcal{B}(CC))$
$z \mapsto kz$
è misurabile.

[ti2012]

Buonasera . Grazie mille. Come arriviamo a dire che $-g$ è misurabile?
Grazie ancora tantisssssssssime

[dissonance]

@ti2012: Beh, questo lo DEVI sapere fare da sola.

@Bremen: Il problema sussiste quando la sigma-algebra è quella di Lebesgue, che è strettamente più grande della sigma-algebra di Borel. Si tratta comunque di cose sottili, che dipendono dall'assioma della scelta e che quindi non interferiscono con la matematica "pratica".