Determinazione logaritmo.

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Avrei una curiosità
Se \( U \) è un semplicemente connesso che non contiene lo zero, allora esiste una determinazione del logaritmo.
Prendiamo ad esempio \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) è semplicemente connesso e non contiene lo zero, quindi possiamo trovare una determinazione del logaritmo \(L \), ma la funzione \( \arg(z) \) è discontinua su \( \mathbb{R}_- \)?
Si può quindi definire anche la radice su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) ?
Ad esempio la radice \(n\)-esima \( r^n(z) := e^{n^{-1} L(z) } \)
Giusto?
Più in generale posso trovare una determinazione del logaritmo togliendo un qualunque raggio passante da zero da \( \mathbb{C} \)
Quindi su qualsiasi insieme del tipo \( \mathbb{C} \setminus e^{i \theta} \mathbb{R}_+ \) ? E poi da lì definire una radice.

[dissonance]

Dici che "arg" è discontinua su \(\mathbb R_{-}\), ma si può anche fare si che sia discontinua su \(\mathbb R_{+}\) e continua da tutte le altre parti. Infatti, se definisci "arg" come una funzione di \(\mathbb C\setminus\{0\}\) in \([0, 2\pi)\), essa sarà discontinua su \(\mathbb R_{+}\) e la funzione
\[
\operatorname{Log} z := \log |z| + i \mathrm{arg}(z)\]
è esattamente una determinazione del logaritmo definita su \(\mathbb C\setminus \mathbb R_{+}\). Queste cose sicuramente già le sai. Per quanto riguarda la radice il discorso è analogo, basta definire
\[
\sqrt{z}:= \sqrt{|z|}e^{i\frac{\mathrm{arg}(z)}{2}}, \]
e questa funzione è discontinua sulla semiretta di discontinuità di \(\mathrm{arg}\).