Derivata funzione composta in più variabili
Ciao! Non mi è chiaro questo passaggio di una dimostrazione che sto studiando, qualcuno può aiutarmi??
Siano $g:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^q$ e $f:\mathbb{R}^q\rightarrow\mathbb{R}^p$ due funzioni derivabili infinite volte
Dato che le derivate dipendono solo dalle proprietà locali della funzione, per calcolare $D^\mathbf{n}(f\circ g)$ possiamo assumere che $f$ si annulli fuori da un intorno di $g(x)$ e si può scrivere:
\begin{equation}\label{fg} f(g(x))=\frac{1}{(2\pi)^q}\int_{\mathbb{R}^q} e^{-i g(x)\cdot\alpha}\hat{f}(\alpha) d\alpha \end{equation}
dove $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_q)$ e $\hat{f}(\alpha)=\int f(y)e^{i\alpha\cdot y} dy$ è la trasformata di Fourier di $f$ (le operazioni su $f=(f_1,...,f_p)$ sono fatte componente per componente). Dalla formula \eqref{fg} segue che per trovare $D^\mathbf{n}(f\circ g)(x)$ è sufficiente calcolare $D^\mathbf{n}(e_\alpha \circ g)(x)$ dove $e_\alpha(y)=e^{i\alpha\cdot y}$
Grazie mille!
Siano $g:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^q$ e $f:\mathbb{R}^q\rightarrow\mathbb{R}^p$ due funzioni derivabili infinite volte
Dato che le derivate dipendono solo dalle proprietà locali della funzione, per calcolare $D^\mathbf{n}(f\circ g)$ possiamo assumere che $f$ si annulli fuori da un intorno di $g(x)$ e si può scrivere:
\begin{equation}\label{fg} f(g(x))=\frac{1}{(2\pi)^q}\int_{\mathbb{R}^q} e^{-i g(x)\cdot\alpha}\hat{f}(\alpha) d\alpha \end{equation}
dove $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_q)$ e $\hat{f}(\alpha)=\int f(y)e^{i\alpha\cdot y} dy$ è la trasformata di Fourier di $f$ (le operazioni su $f=(f_1,...,f_p)$ sono fatte componente per componente). Dalla formula \eqref{fg} segue che per trovare $D^\mathbf{n}(f\circ g)(x)$ è sufficiente calcolare $D^\mathbf{n}(e_\alpha \circ g)(x)$ dove $e_\alpha(y)=e^{i\alpha\cdot y}$
Grazie mille!
Risposte
Cosa non ti è chiaro? Poni \(y=g(x)\) e ricordati della formula di inversione della trasformata di Fourier.
"dissonance":
Cosa non ti è chiaro? Poni \(y=g(x)\) e ricordati della formula di inversione della trasformata di Fourier.
Non capisco perché si possa derivare dentro l'integrale, non dovrebbero esserci altre condizioni?
Certo, ma in genere questi conti si fanno in maniera formale, assumendo che tutti gli integrali abbiano senso e che si possa derivare sotto il segno di integrale, cosa che di solito non pone nessun problema se le funzioni coinvolte sono di classe C infinito e à supporto compatto. Poi tocca passare al limite, magari in qualche senso debole, come nel senso delle distribuzioni
Ho capito, grazie mille!
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