Derivata di un processo stocastico

[Wilde1]

Buongiorno, avrei bisogno di qualche chiarimento o consiglio.
Premetto che su questo tema so poco e sto leggendo libri ingegneristici e quindi poco formali .

Abbiamo $X(t)$ una variabile aleatoria per ogni $t\in R$.
Come posso definire la derivata rispetto a $t$?
E quali sono le condizioni che mi garantiscono che $\partial_t E[X(t)] =E[\partial_t X(t)]$ ?

So che mancano parecchie nozioni, a partire dal fatto che $X_t$ sarà un processo stocastico, magari anche con qualche proprietà. Che quando si inizia a entrare nel calcolo differenziale ci sono interi libri sul calcolo stocastico. Purtroppo il libro da cui sto leggendo (Pope-Turbulent Flows) non risponde a questi dubbi.
Proprio perchè la materia è amplia e il tempo scarseggia non posso partire alla lettura di un libro a caso partendo da zero.

Volevo sapere se in realtà la questione che mi interessa è semplice e magari avete voglia spiegarmi o eventualmente se avete un libro/dispensa adatto al tema (tenendo presente la situazione in cui sono).

[Wilde1]

Vedo che in questa sezione non ho avuto molta fortuna. Chiedo ai moderatori se è possibile spostare il post nella sezione Analisi Superiore.

[feddy]

basta l'integrale di Lebesgue: $E[X(t)] = \int_{\Omega} X_t(\omega) d P(\omega)$, che è un classico integrale rispetto alla misura di probabilità. A questo punto, basta usare i soliti teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale

[Wilde1]

Si si, sto perdendo colpi (come scusante ho che mi sono buttato sull'applicativo più brutale).
Mi sono fatto confondere ragionando con PDF e CDF... così è tutto molto naturale.
Grazie!!

[feddy]

Prego