Derivata di Radon- Nikodym

[mauri54]

Ciao a tutti.
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio.
Es Per ogni spazio topologico $X$, denotiamo con $ \mathcal{B}(X) $ la sigma algebra di Borel su $X$.
Siano $ \lamda,\mu:\mathcal{B}([0,+\infty))\rightarrow[0,+\infty] $ le misure positive definite da
$ \mu(E)=\nu(E\cap [0,1))+\sum_{n\in E\cap\mathbb{Z}_{+}}n\qquad\qquad\text{e}\qquad\qquad\lambda(E)=\int_{E\cap [0,1)}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sum_{n\in E\cap\mathbb{Z}_{+}}\frac{1}{n^2} $

1. Dire se esiste in $L_1(\mu)$, e nel caso calcolarla, la derivata di Radon.Nikodym di $\lamda$ rispetto a $\mu$;
2. Dire se esiste in $L_1(\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})})$, e nel caso calcolarla, la derivata di Radon Nikodym di $\lamda_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}$ rispetto a $\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}$.

Per staccare il testo dal tentativo di soluzione, nasconderò quello che ho provato a fare io.

Si riesce a dimostrare che $\lamda$ è assolutamente continua rispetto a $\mu$ ed è falso il viceversa (basta prendere $E=\{0\}$).
Tuttavia direi che $\mu([0,+\infty))=+\infty\quad$, cioè $\mu$ non è finita ma è sigma-finita perché posso scrivere $ [0,+\infty)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z_{+}}} [0,k)\quad$ e $\quad\mu([0,k))=1+\sum_{n=0}^{k-1}n\ <+\infty $

Inoltre $\mu(\mathbb{Z_{+}})=+\infty\quad$, cioè $\mu$ non è finita ma è sigma-finita perché posso scrivere $ \mathbb{Z_{+}}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z_{+}}} {k}\quad$ e $\quad\mu(\{k\})=k\ <+\infty $


Quindi per la generalizzazione alla misure sigma finite del teorema di Radon Nikodym la derivata di R-N esiste in entrambi i casi. E' corretto?

Se fosse corretto il ragionamento, esisterebbero $h_1\in L(\mu)$ e $h_2\in L_1(\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})})$ tale che

$ \lamda(E)=\int_E h_1\ d\mu\qquad$ e $\qquad\lamda(E)=\int_E h_2\ d\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})} $

per ogni $E$ misurabile.

Il ragionamento vi sembra corretto?
Avete idea di come si possano calcolare le derivate di R-N?

Grazie
Mauri

[Sk_Anonymous]

Mi sembra un ragionamento corretto.
Per calcolare la derivata di Radon-Nikodym non c'e' una procedura standard da seguire; qui un esempio.

[mauri54]

"Delirium":Mi sembra un ragionamento corretto.
Per calcolare la derivata di Radon-Nikodym non c'e' una procedura standard da seguire; qui un esempio.

Ti ringrazio ma non mi sta venendo in mente un modo per scrivere direttamente la $\lambda(E)=\int_{E}\cdots\ d\mu$.
Ho provato calcolare $\lambda(\{x\})$ per ogni $x\in [0,+\infty)$ e facendo i conti mi viene
$ \lambda(\{x\})=\int_{\{x\}} h_1\ d\mu\=h_1(x)\mu(\{x\})=h_1(\{x\})[\nu(\{x\}\cap[0,+\infty))+\sum_{n\in\{x\}\cap\mathbb{Z_{+}}}n]={ ( h_1(x) \qquad\text{se }x\in[0,1)),( 0 \qquad\text{se }x\in[0,+\infty)\setminus\mathbb{Z_{+}} ),( h_1(x)x \qquad\text{se }x\in\mathbb{Z_{+}} ):} $

D'altro canto $ \lambda(\{x\})=\int_{\{x\}\cap[0,1)}\frac{1}{\sqrt{t}}dt+\sum_{n\in\{x\}\cap\mathbb{Z_{+}}}\frac{1}{n^2}= { ( \frac{1}{x^2}\qquad\text{se }x\in\mathbb{Z_{+}} ),( 0 \qquad\text{se }x\in[0,+\infty)\setminus\mathbb{Z_{+}}):} $

Quindi con questo non riesco a capire come fa $h_1$ sugli elementi in $[0,+\infty)\setminus\mathbb{Z_{+}}$ ma riesco a concludere, facendo lo stesso ragionamento per $h_2$, che $h_2(x)=\frac{1}{x^3}$ se $x\in\mathbb{Z_{+}}$. Quindi la derivata di Radon-Nykodym di $\lambda_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}$ rispetto a $\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}$ è $h_2(x)=\frac{1}{x^3}$


Domande:
1. Visto che so che di $h_2$ ce n'è una unica e sui singoletti deve fare quello che ho scritto sopra, è necessario dimostrare che sia in $L_{1}(\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})})$?
2. Per i punti rimanenti della $h_1$ ti viene in mente qualcosa?

[Sk_Anonymous]

"mauri54":[...]
Domande:
1. Visto che so che di $h_2$ ce n'è una unica e sui singoletti deve fare quello che ho scritto sopra, è necessario dimostrare che sia in $L_{1}(\mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})})$? [...]

Sono andato a controllare il Folland, ed il teorema di Radon-Nikodym e' enunciato cosi':

"G. B. Folland":Let \(\nu\) be a \(\sigma\)-finite signed measure and \(\mu\) a \(\sigma\)-finite positive measure on \((X,\mathcal{M})\). There exist unique \(\sigma\)-finite signed measures \(\lambda\), \(\rho\) on \((X,\mathcal{M})\) such that \[\lambda \bot \mu, \quad \rho \ll \mu \quad \text{and} \quad \nu = \lambda + \rho. \]Moreover there is an extended \(\mu\)-integrable function \(f:X\to \mathbb{R}\) such that \( d \rho = f d \mu \), and any two of such functions are equal \(\mu\)-a.e.

Piu' indietro si dice che una funzione \(f\) e' integrabile se entrambi \( \int_X f^+ \) e \(\int_X f^-\) sono finiti, quindi sono propenso a credere che l'appartenenza allo spazio \(L^1\) che indichi sia "gratis" in virtu' del summenzionato teorema. Prendi comunque le mie parole con le pinze, e prova anche a ragionarci da solo perche' e' da un po' che non vedo queste cose.

Per ora non ho una risposta alla domanda 2.

Una curiosita': mi ricordi come viene definita per esempio \( \mu_{| \mathcal{B}(\mathbb{Z}_{+}) }\) (ove ho dato per scontato che \( \mathcal{B}(\mathbb{Z}_+) \) fosse la famiglia dei boreliani degli interi positivi, \(\mathbb{Z}_+\) fornito della topologia discreta)?

[mauri54]

Una curiosita': mi ricordi come viene definita per esempio μ|B(Z+) (ove ho dato per scontato che B(Z+) fosse la famiglia dei boreliani degli interi positivi, Z+ fornito della topologia discreta)?

Non vorrei prendere una cantonata ma io l'ho intesa semplicemente come restrizione della $\mu$, $ \mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}:\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})\rightarrow [0,+\infty] $ tale che $ \mu_{|\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})}(E)=\mu(E) $ per ogni $E\in\mathcal{B}(\mathbb{Z_{+}})$

Per quanto riguarda il teorema di Radon-Nikodym generalizzato, la mia prof l'ha enunciato e dimostrato come segue.
Sia $(X,\mathcal{M})$ uno spazio misurabile, $\mu$ misura su $\mathcal{M}$ positiva sigma finita, $\lamda$ misura complessa su $\mathcal{M}$, \( \lambda\ll\mu \).
Allora \( \exists !h\in L_1(\mu) \) \( \lambda(E)=\displaystyle\int_{E} h\ d\mu \) per ogni $E\in\mathcal{M}$. Inoltre se $\lambda$ è una misura positiva e finita sia ha che \( h(x)\in[0,+\infty) \) per $\mu$-q.o $x\in X$.

Ps: la mia prof deve aver staccato in due il risultato che hai citato tu. Perché probabilmente da quello che hai tu si riesce ad evincere sia il teorema di R-N come lo ho io sia l'esistenza e l'unicità della decomposizione di Lebesgue della $\lambda$ (che è proprio quella che hai scritto nella tesi).

[mauri54]

Ho fatto un errore.
La \( \mu \) non è sigma finita. Si riusciva a dimostrare lavorando sui singoletti che la derivata di radon nikodym di \( \lambda \) rispetto a $\mu$ non esiste. Basta osservare che\( \forall x\in[0,1)\quad\lambda(\{x\})=0 \) (usando la definizione di $lambda$). D'altronde se tale $h$ ci fosse dovrebbe succedere che \( \lambda(\{x\})=h(x)\quad\forall x\in[0,1) \)
e quindi che \( h=0 \) in \( [0,1) \).
Ma calcolandolo direttamente con la definizione\( \lambda([0,1))=2 \)

Quindi non esiste la derivata di R-N