Derivata del modulo di una funzione
$ d sqrt(\bar F*F)/dx $Avendo una funzione di variabile reale ma a valori complessi $ F(x): R-> C$, voglio eseguire la derivata del modulo di tale funzione, cioè $d||F||/dx$, vorrei sapere se vale la regola di derivazione del valore assoluto per cui $d|g|/dx=(|g|/g)*dg/dx$ e se non vale questa regola se esiste qualche altra regola utile ?
Per esempio è lecito operare così:
$d||F||/dx$=$d sqrt(\bar F*F)/dx = (1/(2*sqrt(\bar F*F)))*(d\bar F/dx*F+\bar F*dF/dx)$
Per esempio è lecito operare così:
$d||F||/dx$=$d sqrt(\bar F*F)/dx = (1/(2*sqrt(\bar F*F)))*(d\bar F/dx*F+\bar F*dF/dx)$
Risposte
Ciao MatF,
Se la funzione della variabile reale $x$ è $F: \RR \rightarrow \CC $ significa che $\AA x \in \RR $ essa può scriversi nella forma seguente:
$F(x) = A(x) + i B(x) \implies \bar{F}(x) = A(x) - i B(x) \implies |F| = \sqrt{F \cdot \bar{F}} = \sqrt{A^2(x) + B^2(x)} $
Quindi si ha:
$(\text{d}|F|)/(\text{d}x) = (\text{d})/(\text{d}x)[\sqrt{A^2(x) + B^2(x)}] = (A(x)A'(x) + B(x)B'(x))/(\sqrt{A^2(x) + B^2(x)}) $
Puoi verificare che quest'ultima si ottiene facendo i conti a partire dall'ultima relazione che hai scritto.
Se la funzione della variabile reale $x$ è $F: \RR \rightarrow \CC $ significa che $\AA x \in \RR $ essa può scriversi nella forma seguente:
$F(x) = A(x) + i B(x) \implies \bar{F}(x) = A(x) - i B(x) \implies |F| = \sqrt{F \cdot \bar{F}} = \sqrt{A^2(x) + B^2(x)} $
Quindi si ha:
$(\text{d}|F|)/(\text{d}x) = (\text{d})/(\text{d}x)[\sqrt{A^2(x) + B^2(x)}] = (A(x)A'(x) + B(x)B'(x))/(\sqrt{A^2(x) + B^2(x)}) $
Puoi verificare che quest'ultima si ottiene facendo i conti a partire dall'ultima relazione che hai scritto.
Grazie mille della risposta, ho un altro dubbio di derivazione : se ho un vettore complesso e, la derivata del sul modulo al quadrato può essere tratta così(applicando la proprietà del prodotto):
$ d||e||^2/dx = d(e^H*e)/dx=de^H/dx*e+e^H*de/dx $
Con H indico l'hermitiano, cioè coniugato trasposto
Inoltre le torna che la derivata rispetto ad una variabile reale, di un modulo, è obbligatoriamente reale?
$ d||e||^2/dx = d(e^H*e)/dx=de^H/dx*e+e^H*de/dx $
Con H indico l'hermitiano, cioè coniugato trasposto
Inoltre le torna che la derivata rispetto ad una variabile reale, di un modulo, è obbligatoriamente reale?
Nella mia esperienza, invece di passare a parte reale e immaginaria, conviene fare come suggerito dall'OP nel primo post. Per esempio,
\[
\frac{d}{dx} \lvert f(x)\rvert =\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)\overline{f(x)}}=\text{etc...}\]
NOTA BENE: la funzione \(x\in \mathbb R\mapsto \lvert f(x)\rvert\) è una funzione reale di variabile reale. Quindi la derivata è una funzione reale di variabile reale pure lei. Se vengono fuori numeri complessi non reali, significa che c'è un errore nei conti.
\[
\frac{d}{dx} \lvert f(x)\rvert =\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)\overline{f(x)}}=\text{etc...}\]
NOTA BENE: la funzione \(x\in \mathbb R\mapsto \lvert f(x)\rvert\) è una funzione reale di variabile reale. Quindi la derivata è una funzione reale di variabile reale pure lei. Se vengono fuori numeri complessi non reali, significa che c'è un errore nei conti.
Grazie della risposta dissonance, sai per caso dirmi se l'approccio per il mio secondo problema di derivazione è corretto?
Mi rispiego nel caso non sia ben capibile, nel caso abbia un vettore $e(x)=(e1(x),.....,en(x))$ di numeri complessi , io voglio derivare $||e(x)||^2=||e1(x)||^2+....+||en(x)||^2$, se non sbaglio posso ottenere lo stesso risultato come $e(x)^H*e(x)=((\bar e1(x)),(.),(.),(.),(\bar en(x)))*(e1(x),.....,en(x))$, posso applicare la regola di derivazione del prodotto, di conseguenza $d(e(x)^H*e(x))/dx=de^H/dx⋅e+e^H⋅de/dx$ ?
Mi rispiego nel caso non sia ben capibile, nel caso abbia un vettore $e(x)=(e1(x),.....,en(x))$ di numeri complessi , io voglio derivare $||e(x)||^2=||e1(x)||^2+....+||en(x)||^2$, se non sbaglio posso ottenere lo stesso risultato come $e(x)^H*e(x)=((\bar e1(x)),(.),(.),(.),(\bar en(x)))*(e1(x),.....,en(x))$, posso applicare la regola di derivazione del prodotto, di conseguenza $d(e(x)^H*e(x))/dx=de^H/dx⋅e+e^H⋅de/dx$ ?
Si, puoi, ma non ti semplifica molto la vita. Io scriverei tutto in coordinate, alla fine devi derivare $|e(x)|^2$ n volte.
Comunque quello che fai è corretto
Comunque quello che fai è corretto
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