Derivabilità delle funzioni monotone
Come si dimostra che, data una funzione $f:RR->RR$ (debolmente) crescente, l'insieme dei suoi punti di non derivabilità ha misura nulla (secondo Lebesgue)? (se è vero; mi sembra di averlo letto da qualche parte, ma potrei sbagliarmi)
So dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità è al più numerabile, e quindi in particolare ha misura nulla, ma non penso c'entri molto.
So dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità è al più numerabile, e quindi in particolare ha misura nulla, ma non penso c'entri molto.
Risposte
Ma vuoi un hint o una referenza? Perche' e' un risultato iperclassico (e non banale), spesso indicato col nome di Teorema di Lebesgue, che si trova ovunque (tipo pag. 108 di Royden - Fitzpatrick, Real Analysis, il primo libro che ho aperto).
Qualsiasi cosa va bene, diciamo solo che se è una referenza, sarebbe meglio se fosse facilmente accessibile.
Una l'ho citata sopra. Una versione (probabilmente) user friendly sta nelle dispense di Analisi Reale di De Marco (non so se si trovino ancora in rete), altrimenti pag. 101 della seconda edizione del sempiterno Folland, Real Analysis - ... .
Grazie Delirium.
Ho avuto modo di consultare il testo che mi hai consigliato (Folland), ma purtroppo usa delle cose di teoria della misura che non conosco, non è che magari conosci una (referenza per una) dimostrazione più "elementare", per quanto possibile, nel senso che usa strumenti di teoria della misura il meno possibile avanzati?
Grazie mille comunque anche per le risposte precedenti Delirium.
Grazie mille comunque anche per le risposte precedenti Delirium.
Ciao, lungi dall'essere un esperto, sto però per dare un esame in cui ho anche questa dimostrazione. Purtroppo (anche per me) non ho trovato vie alternative e particolarmente dirette. La dimostrazione che conosco io (prime 10 pagine del capitolo 9 del Kolmogorov-Fomin) non mi pare richieda grandi conoscenze di teoria della misura. Non è per niente breve però, è giusto per aggiungere un'ulteriore referenza.
Non mi viene in mente nessuna dimostrazione piu' elementare. Sarebbe comunque sorprendente se ve ne fosse una, visto che il concetto di derivabilita' quasi ovunque nasce con la Teoria della Misura. Se hai dubbi con quella di Folland, riportala qui e ne discutiamo.
Qui trovi una dimostrazione online, la controllai qualche tempo fa perciò dovrebbe essere completa di tutti i dettagli. Ma da quanto ho avuto modo di vedere la dimostrazione è un po' sempre la stessa, si tratta pur sempre di stimare la misura di certi insiemi. Ma comunque ti basta sapere davvero il minimo di teoria della misura per comprenderla: definizione di misura e proprietà di base ($\sigma$-additività, ecc.)
Ho dato un'occhiata al tuo link (per il quale ti ringrazio tanto!) ma ad un certo punto compare il "teorema del ricoprimento di Vitali", che non conosco e non penso sia compreso nel minimo di teoria della misura di cui parlavi, comunque a parte quello la dimostrazione me la sono letta ma c'è quacosa che non mi torna, quando dice $Enn[c_k,d_k]\sub{x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)}$, il valore assoluto ce lo posso mettere perché tanto $\alpha$ è positivo? Penso sia questo il motivo anche se lui non lo dice.
Poi perchè posso dire $m^\ast({x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)})<=1/abs(\alpha)(f(d_k)-f(c_k))$?
Ma poi, $m^\ast$ è la misura esterna di Lebesgue vero?
Poi perchè posso dire $m^\ast({x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)})<=1/abs(\alpha)(f(d_k)-f(c_k))$?
Ma poi, $m^\ast$ è la misura esterna di Lebesgue vero?
"otta96":
[...] $Enn[c_k,d_k]\sub{x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)}$, il valore assoluto ce lo posso mettere perché tanto $\alpha$ è positivo? Penso sia questo il motivo anche se lui non lo dice. [...]
Sembrerebbe di si'.
"otta96":
[...] Poi perchè posso dire $m^\ast({x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)})<=1/abs(\alpha)(f(d_k)-f(c_k))$? [...]
E' un risultato che viene provato nella pagina linkata all'inizio.
Una dimostrazione che non fa uso della Teoria della Misura la trovi sul (davvero sempiterno) testo di Riesz, Lecons d'Analyse Fonctionelle, o Functional Analysis (in traduzione inglese), cap. 1, parr. 2 & 3.
D'altra parte, come nota l'autore:
La dimostrazione fornita nel testo di Riesz è anch'essa fatta con l'ipotesi aggiuntiva della continuità e si basa su un lemmino tecnico che, se non ricordo male, si chiama (in gergo) Riesz's rising sun lemma. Tale dimostrazione è ripresa, con qualche modifica, nel libro di Leoni sugli spazi di Sobolev, A First Course in Sobolev Spaces.
D'altra parte, come nota l'autore:
[...] aggiungiamo che Lebesgue dimostrò questo teorema sotto l'ipotesi aggiuntiva di continuità della funzione $f(x)$. La dimostrazione apparve nell'edizione del 1904 del suo libro sull'integrazione (Lecons sur l'Intégration et la Recherche des Fonctions Primitives, n.d. Gugo), alla fine dell'ultimo capitolo, come risultato finale di tutta la teoria. Tuttavia, né l'idea di integrale né quella di misura compaiono nell'enunciato del teorema. Infatti, la nozione di insieme di misura nulla non dipende essenzialmente dalla teoria generale della misura e le proprietà principali di tali insiemi possono essere dimostrare in poche righe.
La dimostrazione fornita nel testo di Riesz è anch'essa fatta con l'ipotesi aggiuntiva della continuità e si basa su un lemmino tecnico che, se non ricordo male, si chiama (in gergo) Riesz's rising sun lemma. Tale dimostrazione è ripresa, con qualche modifica, nel libro di Leoni sugli spazi di Sobolev, A First Course in Sobolev Spaces.
Grazie Delirium e grazie anche a Gugo82, molto interessante quello che hai detto, anche perché a me piacciono parecchio le contestualizzazioni storiche, se ho modo provo a guardarla sui testi che mi hai suggerito.
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