Delta di Dirac
Buonasera,
sono uno studente di ingegneria e mi è sorto un dubbio sulla delta di dirac. Nel corso di microonde abbiamo definito una sorgente impressa collocata nell'origine sfruttando la funzione della delta di dirac. Dopo vari passaggi siamo arrivati a fare l'integrale di volume della delta di dirac considerando come volume una sferetta di raggio infinitesimo (quindi che tende a zero). Praticamente il risultato di questo integrale di volume è stato pari ad 1 ed il professore ci ha detto che ciò è dovuto alle proprietà che della di dirac (proprietà del campionamento definite). Vorrei capire il perchè se qualcuno può aiutarmi. Spero di non aver sbagliato sezione. Grazie in anticipo.
sono uno studente di ingegneria e mi è sorto un dubbio sulla delta di dirac. Nel corso di microonde abbiamo definito una sorgente impressa collocata nell'origine sfruttando la funzione della delta di dirac. Dopo vari passaggi siamo arrivati a fare l'integrale di volume della delta di dirac considerando come volume una sferetta di raggio infinitesimo (quindi che tende a zero). Praticamente il risultato di questo integrale di volume è stato pari ad 1 ed il professore ci ha detto che ciò è dovuto alle proprietà che della di dirac (proprietà del campionamento definite). Vorrei capire il perchè se qualcuno può aiutarmi. Spero di non aver sbagliato sezione. Grazie in anticipo.
Risposte
Il problema è: che cos'è $delta$? Come te l'hanno definita?
Il modo rigoroso (non ho detto il più rigoroso 
) per definirla è il seguente:
Dato un segnale test $\varphi(t) in \mathcal{D}$, si definisce delta di Dirac la distribuzione $\delta(t) in \mathcal{D}'$ il cui effetto sul segnale test è $<\delta,varphi> =\varphi(0)$
Per introdurla "intuitivamente" tipicamente si definisce una funzione $x_n(t)$ come:
$\x_n(t) = \{(1/n" "-n/2<=t<=n/2),(0 " ""altrove" ):}$
Ad esempio proviamo a scegliere $n=4$, ti viene fuori una "funzione porta" (o rettangolare), la cui area è semplicemente quella del rettangolo di base $4$ e altezza $1/4$, quindi l'integrale di $x_n(t)$ su $RR$ è sempre 1, per qualsiasi n.
Più $n$ è piccola, più la base del rettangolo sarà piccola e più la sua altezza sarà grande, ma l'area è sempre 1.
Ora guardiamo il limite di $x_n(t)$ per $nrarr0$.
[img]https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-8e143ba0665300f1d279c3af8e403756.webp[/img]
Essenzialmente, al limite ti ritrovi con un rettangolo di base infinitesima ed altezza che tende ad infinito, di "area 1".
Fai attenzione, questa è solo una giustificazione intuitiva, è non vuole assolutamente essere una dimostrazione. Anzi, ti sconsiglio di utilizzare la Delta di Dirac come una normale funzione, perchè non lo è. Potresti essere tentato di andare avanti con i conti e scrivere:
$\delta(t) = lim_{n->0} \x_n(t) = \{(+oo" "t = 0),(0 " ""altrove" ):}$
Questa rappresentazione, che si trova su molti libri di testo (applicativi), nonostante restituisca una comprensione immediata, è sbagliata, perchè non ha senso definire puntualmente la delta (perchè è una distribuzione), e solitamente conduce ad errori quando utilizzata con troppa "leggerezza"
) per definirla è il seguente:Dato un segnale test $\varphi(t) in \mathcal{D}$, si definisce delta di Dirac la distribuzione $\delta(t) in \mathcal{D}'$ il cui effetto sul segnale test è $<\delta,varphi> =\varphi(0)$
Per introdurla "intuitivamente" tipicamente si definisce una funzione $x_n(t)$ come:
$\x_n(t) = \{(1/n" "-n/2<=t<=n/2),(0 " ""altrove" ):}$
Ad esempio proviamo a scegliere $n=4$, ti viene fuori una "funzione porta" (o rettangolare), la cui area è semplicemente quella del rettangolo di base $4$ e altezza $1/4$, quindi l'integrale di $x_n(t)$ su $RR$ è sempre 1, per qualsiasi n.
Più $n$ è piccola, più la base del rettangolo sarà piccola e più la sua altezza sarà grande, ma l'area è sempre 1.
Ora guardiamo il limite di $x_n(t)$ per $nrarr0$.
[img]https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-8e143ba0665300f1d279c3af8e403756.webp[/img]
Essenzialmente, al limite ti ritrovi con un rettangolo di base infinitesima ed altezza che tende ad infinito, di "area 1".
Fai attenzione, questa è solo una giustificazione intuitiva, è non vuole assolutamente essere una dimostrazione. Anzi, ti sconsiglio di utilizzare la Delta di Dirac come una normale funzione, perchè non lo è. Potresti essere tentato di andare avanti con i conti e scrivere:
$\delta(t) = lim_{n->0} \x_n(t) = \{(+oo" "t = 0),(0 " ""altrove" ):}$
Questa rappresentazione, che si trova su molti libri di testo (applicativi), nonostante restituisca una comprensione immediata, è sbagliata, perchè non ha senso definire puntualmente la delta (perchè è una distribuzione), e solitamente conduce ad errori quando utilizzata con troppa "leggerezza"
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