Definizione di "valutazione" di \(f\)
Secondo me ci sono dei typo nelle definizioni seguenti che mi hanno dato
Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con sviluppo in serie di Laurent in \(z_0 \)
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
chiamiamo "valutazione" (non so il termine in italiano, l'ho tradotto alla lettera) di \(f \) e lo notiamo \(v_{z_0}(f) \in \mathbb{N} \cup \{ \pm \infty \} \) la quantità \( \inf \{ n \in \mathbb{Z} : a_n\neq 0 \} \)
Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con sviluppo in serie di Laurent in \(z_0 \not\in U \) una singolarità e sia lo sviluppo di Laurent centrato in \(z_0 \) il seguente:
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
-diciamo che \(z_0 \) è una singolarità eliminabile se la parte singolare è nulla, quindi \(v_{z_0}(f) \geq 0 \)
- diciamo che \(f\) è meromorfa in \(z_0 \) (o possiede un polo in \(z_0\)) se la parte singolare contiene un numero finito di termini non nulli, dunque \( v_{z_0}(f) \in - \mathbb{N}^* \)
- diciamo che \(z_0 \) ha una singolarita essenziale in \(z_0\) se la parte singolare contiene un numero infinito di termini non nulli e pertato \( v_{z_0}(f) = - \infty \)
Nella definizione di valutazione se \( z_0 \in U \) abbiamo direttamente che \(z_0 \) non è una singolarità pertanto \( v_{z_0}(f) \geq 0 \). Mentre se \(z_0 \not\in U \) è una singolarità allora lo sviluppo di Laurent possiede anche termini \( a_n \) con \( n < 0 \) e dunque sarebbe più corretto considerare
Primo typo:
chiamiamo "valutazione" di \(f \) e lo notiamo \(v_{z_0}(f) \in \mathbb{Z} \cup \{ \pm \infty \} \) la quantità \( \inf \{ n \in \mathbb{Z} : a_n\neq 0 \} \)
Secondo typo
Siete d'accordo con me che in entrambi i casi se \( z_0 \not\in U \) è una singolarità lo sviluppo in serie di Laurent dovrebbe essere a priori
\[ f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
Se invece nel primo caso \( z_0 \in U\) allora lo sviluppo in serie di Laurent è corretto poiché è olomorfa in \( z_0 \).
Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con sviluppo in serie di Laurent in \(z_0 \)
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
chiamiamo "valutazione" (non so il termine in italiano, l'ho tradotto alla lettera) di \(f \) e lo notiamo \(v_{z_0}(f) \in \mathbb{N} \cup \{ \pm \infty \} \) la quantità \( \inf \{ n \in \mathbb{Z} : a_n\neq 0 \} \)
Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con sviluppo in serie di Laurent in \(z_0 \not\in U \) una singolarità e sia lo sviluppo di Laurent centrato in \(z_0 \) il seguente:
\[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
-diciamo che \(z_0 \) è una singolarità eliminabile se la parte singolare è nulla, quindi \(v_{z_0}(f) \geq 0 \)
- diciamo che \(f\) è meromorfa in \(z_0 \) (o possiede un polo in \(z_0\)) se la parte singolare contiene un numero finito di termini non nulli, dunque \( v_{z_0}(f) \in - \mathbb{N}^* \)
- diciamo che \(z_0 \) ha una singolarita essenziale in \(z_0\) se la parte singolare contiene un numero infinito di termini non nulli e pertato \( v_{z_0}(f) = - \infty \)
Nella definizione di valutazione se \( z_0 \in U \) abbiamo direttamente che \(z_0 \) non è una singolarità pertanto \( v_{z_0}(f) \geq 0 \). Mentre se \(z_0 \not\in U \) è una singolarità allora lo sviluppo di Laurent possiede anche termini \( a_n \) con \( n < 0 \) e dunque sarebbe più corretto considerare
Primo typo:
chiamiamo "valutazione" di \(f \) e lo notiamo \(v_{z_0}(f) \in \mathbb{Z} \cup \{ \pm \infty \} \) la quantità \( \inf \{ n \in \mathbb{Z} : a_n\neq 0 \} \)
Secondo typo
Siete d'accordo con me che in entrambi i casi se \( z_0 \not\in U \) è una singolarità lo sviluppo in serie di Laurent dovrebbe essere a priori
\[ f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \]
Se invece nel primo caso \( z_0 \in U\) allora lo sviluppo in serie di Laurent è corretto poiché è olomorfa in \( z_0 \).
Risposte
Si la somma parte da \(-\infty\)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo