Definizione di prodotto infinito.
La definizione che ho di prodotto infinito assolutamente convergente è la seguente.
Un prodotto infinito \( \prod_{j=1}^{\infty} a_j \) è chiamato assolutamente convergente se esiste \(n_0 \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \( n \geq n_0 \) tale che \(a_n \neq 0 \) e se \( \sum_{j=n_0}^{\infty} \log(a_j) \) è assolutamente convergente.
La mia domanda è: immagino che prende una "branch" del logaritmo in cui è definito su \( \mathbb{C} \setminus r_{\theta} \) dove \(r_{\theta} := e^{i \theta} \cdot (-\infty, 0] \). E \( \theta \in \mathbb{R} \) è tale che \( \arg a_n \neq \theta \) per ogni \( n \geq n_0 \). Oppure che logaritmo prende?
Se è come suppongo allora la definizione è indipendente dalla scelta del logaritmo?
Un prodotto infinito \( \prod_{j=1}^{\infty} a_j \) è chiamato assolutamente convergente se esiste \(n_0 \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \( n \geq n_0 \) tale che \(a_n \neq 0 \) e se \( \sum_{j=n_0}^{\infty} \log(a_j) \) è assolutamente convergente.
La mia domanda è: immagino che prende una "branch" del logaritmo in cui è definito su \( \mathbb{C} \setminus r_{\theta} \) dove \(r_{\theta} := e^{i \theta} \cdot (-\infty, 0] \). E \( \theta \in \mathbb{R} \) è tale che \( \arg a_n \neq \theta \) per ogni \( n \geq n_0 \). Oppure che logaritmo prende?
Se è come suppongo allora la definizione è indipendente dalla scelta del logaritmo?
Risposte
Mi sa che prendi il ramo del logaritmo per cui \(\log 1=0\). Mi sa che ogni altro ramo differisce da questo per un po' di termini, che danno un risultato diverso alla somma/prodotto, ma non alterano la risposta a "questa serie/produttoria converge?"
Ciao 3m0o,
Se non ricordo male prende il ramo principale del logaritmo e vale quanto segue.
Data una successione di numeri complessi ${a_j}$, si pone $P_m^k := \prod_{j = m}^k a_j $ per $ k >= m $.
Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:
i) $ \prod_{j = m}^{+\infty} a_j $ è convergente;
ii) esiste $n_0 $ tale che $a_n \ne 0 $ per ogni $n >= n_0 $ ed esiste $m$ tale che $\lim_{k \to +\infty} P_m^k $ esiste finito e non nullo;
iii) esiste $m \in \NN $ tale che $\sum_{j = m}^{+\infty} log a_j $ è convergente (dove è stato scelto il ramo principale del logaritmo).
Non credo che sia obbligata la scelta del logaritmo naturale, ma di fatto poi è la più comoda perché si tende ad usare la seguente:
\begin{equation*}
\boxed{\prod_{j=m}^k (1 + a_j) = \exp{\bigg[\sum_{j=m}^k \ln (1 + a_j)\bigg]}}
\end{equation*}
Se non ricordo male prende il ramo principale del logaritmo e vale quanto segue.
Data una successione di numeri complessi ${a_j}$, si pone $P_m^k := \prod_{j = m}^k a_j $ per $ k >= m $.
Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:
i) $ \prod_{j = m}^{+\infty} a_j $ è convergente;
ii) esiste $n_0 $ tale che $a_n \ne 0 $ per ogni $n >= n_0 $ ed esiste $m$ tale che $\lim_{k \to +\infty} P_m^k $ esiste finito e non nullo;
iii) esiste $m \in \NN $ tale che $\sum_{j = m}^{+\infty} log a_j $ è convergente (dove è stato scelto il ramo principale del logaritmo).
Non credo che sia obbligata la scelta del logaritmo naturale, ma di fatto poi è la più comoda perché si tende ad usare la seguente:
\begin{equation*}
\boxed{\prod_{j=m}^k (1 + a_j) = \exp{\bigg[\sum_{j=m}^k \ln (1 + a_j)\bigg]}}
\end{equation*}
Si ma se prendessi il ramo principale dovrei imporre che gli \( a_j \) non sono negativi. Cioé che sono \( a_j \in \mathbb{C} \setminus (-\infty,0]\). Lì non c'è quella condizione.
Certo, supporre $a_j > 0 $ è il caso più semplice, sicché si possa scrivere:
$a_j = e^{ln a_j} $
$\prod_{j = m}^k a_j = \prod_{j = m}^k e^{ln a_j} = e^{ln a_m + ln a_{m + 1} + ... + ln a_k} = exp[\sum_{j = m}^k ln a_j] $
In caso contrario immagino occorrerà scegliere un ramo del logaritmo differente dal principale, ma il discorso dovrebbe filare egualmente...
$a_j = e^{ln a_j} $
$\prod_{j = m}^k a_j = \prod_{j = m}^k e^{ln a_j} = e^{ln a_m + ln a_{m + 1} + ... + ln a_k} = exp[\sum_{j = m}^k ln a_j] $
In caso contrario immagino occorrerà scegliere un ramo del logaritmo differente dal principale, ma il discorso dovrebbe filare egualmente...
Per quello avevo scritto il log su \( \mathbb{C} \setminus r_{\theta} \). Pertanto come dice solaal, non mi importa se la convergenza assoluta della serie \( \sum \log(a_j) \) converge a cose diverse, l'importante è che converge assolutamente sempre. E la definizione è indipendente dal log scelto.
"pilloeffe":
Certo, supporre $a_j > 0 $ è il caso più semplice, sicché si possa scrivere:
Questo non lo possiamo supporre... non c'è un ordinamento in \( \mathbb{C} \) ma ho capito cosa intendevi.
Comunque posso supporre senza perdità di generalità che \( \{ a_j \}_{j} \subset \mathbb{C} \) è tale che per \( j \geq j_0 \) sono \( a_j \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] \) ?
Perché in un esercizio dice
b) Dimostra che \( \prod_{j=1}^{\infty} (1+b_j) \) converge assolutamente se e solo se \( \sum_{j=1}^{\infty} \left| b_j \right| < \infty \).
Ad un certo punto mi dice siccome \( \log(1)=0 \)... bla bla.
Cioè suppone senza perdità di generalità che \( 1+b_j \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] \) senza dire nulla?
"3m0o":
Questo non lo possiamo supporre... non c'è un ordinamento in $\CC$ ma ho capito cosa intendevi.
Sì scusami, per errore ho postato il caso reale...
Naturalmente è $|a_j| > 0 $
"3m0o":
Comunque posso supporre senza perdità di generalità che ${a_j}_j \subset \CC $ è tale che per $ j >= j_0 $ sono $a_j \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] $?
Da un certo indice in poi tutti i complessi eccetto i reali negativi? Secondo me sì...
"pilloeffe":
Da un certo indice in poi tutti i complessi eccetto i reali negativi? Secondo me sì...
Sì se converge sì.
Invece mi sono reso conto che non ha senso prendere un altro ramo del logaritmo perché per avere un senso \( \log(a_j) \to 0 \). Se prendiamo un altro ramo allora anche se \(a_j \to 1 \) abbiamo che \( \log(a_j) \not\to 0 \). Quindi l'unica è scegliere un estensione discontinua su \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) del ramo principale di \( \log(z) \)
"3m0o":
Sì se converge sì.
Scusa, questa precisazione non l'ho capita:
"3m0o":
Un prodotto infinito $ \prod_{j=1}^{\infty} a_j $ è chiamato assolutamente convergente se esiste $n_0 \in \NN $ tale che per ogni $n >= n_0 $ tale che $a_n \ne 0 $ e se $\prod_{j=1}^{\infty} a_j $ è assolutamente convergente.
"3m0o":
b) Dimostra che $\prod_{j=1}^{\infty} (1+b_j)$ converge assolutamente se e solo se $ \sum_{j=1}^{\infty} | b_j | < \infty $.
Quindi mi sembra chiaro che si parte da qualcosa di convergente: sono affermazioni equivalenti. O mi sono perso qualcosa?
Poi per la b):
$\prod_{j=1}^{\infty} (1+a_j)$ converge assolutamente se e solo se $ \sum_{j=1}^{\infty} | b_j | < \infty $ ove $b_j = log(1 + a_j) $
Dato che per la convergenza della serie deve necessariamente essere $a_j \to 0 $ si arriva a dimostrare che $\prod_{j=1}^{\infty} (1+a_j)$ converge assolutamente se e solo se $ \sum_{j=1}^{\infty} | a_j | < \infty $
"pilloeffe":
[quote="3m0o"]Sì se converge sì.
Scusa, questa precisazione non l'ho capita:
[/quote]
Nel senso che condizione necessaria per la convergenza del prodotto infinito è che \(a_n \to 1 \) quindi a partire da un certo punto in poi sono tutti in un intorno di \(1\). Quindi se converge posso supporlo.
"3m0o":
Un prodotto infinito $ \prod_{j=1}^{\infty} a_j $ è chiamato assolutamente convergente se esiste $n_0 \in \NN $ tale che per ogni $n >= n_0 $ tale che $a_n \ne 0 $ e se $\prod_{j=1}^{\infty} a_j $ è assolutamente convergente.
Ti giuro che l'ho cercata ma non ho mai scritto questo
Sarebbe
Un prodotto infinito $ \prod_{j=1}^{\infty} a_j $ è chiamato assolutamente convergente se esiste $n_0 \in \NN $ tale che per ogni $n >= n_0 $ tale che $a_n \ne 0 $ e se $\sum_{j=n_0}^{\infty} \log(a_j) $ è assolutamente convergente. È importante che \(\log \) sia tale che \( \log(1)=0 \) altrimenti potremmo avere che \( \prod_{j=1}^{\infty} a_j \) converge ma non converge assolutamente poi. Quindi prendiamo il ramo principale del \( \log \). Ma ora il problema è che \( \log(a_j) \) potrebbe non essere definito per infiniti \(a_j \). Così prendiamo un'estensione discontinua su \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \), come inversa del esponenziale, tale che non si annulla sui reali negativi. A questo punto abbiamo che \( \log(a_j) \) è ben definito e la definizione funziona.
Ad esempio \( \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \), chiaramente diverge quindi non può converge assolutamente. Ma come facciamo a domandarci se converge assolutamente o no? La definizione di convergenza assoluta è quella sopra. Abbiamo che \( a_n \neq 0 \) per ogni \(n\). Dobbiamo studiare la convergenza assoluta di
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{(-1)^n}{n} \right) \]
Problema: Per poterci domandare se quell'oggetto converge assolutamente oppure no è necessario che la serie abbia un senso. Quindi dobbiamo dare un senso al \( \log \) di negativi. Quale log prendiamo? Un idea sarebbe quella di prendere un ramo del log continuo e olomorfo definito su tutto \( \mathbb{R} \setminus \{0 \} \). Quindi possiamo scegliere ad esempio un log definito su \( \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R}_{-}\). Il problema è che poi non possiamo più concludere a partire dalla convergenza la non convergenza assoluta poiché se
\[ \sum_{n \geq n_0 } \left| \log( a_n ) \right| \]
converge con il \( \log \) definito su \( \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R}_{-} \) allora \( \left| \log( a_n ) \right| \to 0 \) e dunque \( a_n \to i \) ma condizione necessaria per la convergenza è che \( a_n \to 1 \).
Quindi dobbiamo estendere il ramo principale a tutto \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) in modo tale che non si annulla sul asse reale negativo così possiamo dire due cose:
1) La serie
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{(-1)^n}{n} \right) \]
è ben definita, più in generale è ben definita per ogni \( \{ a_n \}_n \subset \mathbb{C} \setminus \{0 \} \)
2) Convergenza assoluta implica convergenza.
A questo punto possiamo concludere che \( \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) non converge assolutamente a partire dalla non convergenza.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{(-1)^n}{n} \right) \]
Problema: Per poterci domandare se quell'oggetto converge assolutamente oppure no è necessario che la serie abbia un senso. Quindi dobbiamo dare un senso al \( \log \) di negativi. Quale log prendiamo? Un idea sarebbe quella di prendere un ramo del log continuo e olomorfo definito su tutto \( \mathbb{R} \setminus \{0 \} \). Quindi possiamo scegliere ad esempio un log definito su \( \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R}_{-}\). Il problema è che poi non possiamo più concludere a partire dalla convergenza la non convergenza assoluta poiché se
\[ \sum_{n \geq n_0 } \left| \log( a_n ) \right| \]
converge con il \( \log \) definito su \( \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R}_{-} \) allora \( \left| \log( a_n ) \right| \to 0 \) e dunque \( a_n \to i \) ma condizione necessaria per la convergenza è che \( a_n \to 1 \).
Quindi dobbiamo estendere il ramo principale a tutto \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) in modo tale che non si annulla sul asse reale negativo così possiamo dire due cose:
1) La serie
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{(-1)^n}{n} \right) \]
è ben definita, più in generale è ben definita per ogni \( \{ a_n \}_n \subset \mathbb{C} \setminus \{0 \} \)
2) Convergenza assoluta implica convergenza.
A questo punto possiamo concludere che \( \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) non converge assolutamente a partire dalla non convergenza.
"3m0o":
Ti giuro che l'ho cercata ma non ho mai scritto questo
Hai ragione, scusami, ti ho citato malissimo: non so come mi sia uscito e soprattutto come non sia riuscito ad accorgermene guardando l'anteprima... Comunque l'argomento non è banale, ma mi sembra che tu la stia rendendo più complicata di quello che già non sia...
Prova a dare un'occhiata ad esempio qui e soprattutto qui (da pagina 108).
"pilloeffe":
Comunque l'argomento non è banale, ma mi sembra che tu la stia rendendo più complicata di quello che già non sia...
Prova a dare un'occhiata ad esempio qui e soprattutto qui (da pagina 108).
Guarderò domani, che ora sono stanchino
Grazie mille!
Comunque ho mandato una mail al mio prof e mi ha risposto questo:
"io":
I mean for $\prod_{n=1}^{\infty} (-1)^n/n$ what to do with the definition of the absolute convergence? I can't take the the principal branch since there are infinitely many negative number and infinitely many positive one. So I'm not sure how to compare it with \( \sum_{n=1}^{\infty} \left| \log((-1)^n/n) \right|\) since i don't know what sense give to this object. Probably the infinit product in my example does not converge absolutly since \( \sum_{k=1}^{\infty} \left| (-1)^n/n - 1 \right| \geq \sum_{k=2}^{\infty} 1/n\). But for using a criterium of absolute convergence that we proved in H 4.1 b) I need that is well defined for the object itself. So how to interpretate the definition of absolute convergence in this case? I did some mistake of understanding something?
Best regards,
"prof":
When working with infinite products one usually considers the principle branch since the factors converge to 1, so we need a branch that vanishes at 1 to make a comparison to series.
In your example, take a discontinuous extension of the principal branch (as an inverse of the exponential without uniqueness defined on $\mathbb{C}\setminus\{0\}$). You will see that the product does not converge absolutely. Here it is just important that the only freedom for the extension concerns the imaginary part.
"io":
In lemma 3.3, for example, we said that for $a_j \in \mathbb{C} \setminus (-infty,0]$ then $\prod a_j$ converge if and only if $\sum \log(a_j) $ converge. So why in the definition of absolute converging we have $a_j \in \mathbb{C} \setminus \{0 \} $ and not $a_j \in C \setminus (-infty,0]$ ?
So also in lemma 3.3[nota]Il Lemma 3.3 dice: Sia \( \{ a_j\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \setminus \{ (-\infty,0]\} \) una successione. Allora \( \prod_{j=1}^{\infty} a_j \) esiste se e solo se la serie \( \sum_{j=1}^{\infty} \log(a_j) \) esiste. Dove \( \log\) è il ramo principale.[/nota] we can suppose that $a_j \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ and not only $a_j \in \mathbb{C} \setminus (-infty,0]$ by taking a discontinous extension of the principal branch such that is defined on \( \mathbb{C} \setminus \{0 \}\) ?
"prof":
Yes, you can always assume that $a_n$ is contained in $\mathbb{C}\setminus \{0\}$. All proofs work as well with a discontinuous extension of the logarithm. The only important point is that an extension of the logarithm has no zero on the negative real axis. So when the series converges, you know that $a_n$ is close to 1 for n large enough and you forget the other finitely many terms in the proof. In the same way, when the product converges you know that $a_n$ is close to 1 and you forget the other terms. Keep in mind that all these results only speak about convergence. Things change when one tries to identify the limits which is a different story.
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