Definizione convergenza in misura
Ciao, penso abbiate tutti presente questa definizione di convergenza in misura, quella "ufficiale" diciamo.
Solo che sul Rudin "Analisi Reale e Complessa", ho trovato una definizione un po' diversa: con gli stessi significati della notazione del link, $f_n$ converge a $f$ in misura se $AA\epsilon>0, \mu({x\inX||f(x)-f_n(x)|>\epsilon})<\epsilon$, definitivamente .
Mi chiedevo se fossero equivalenti o meno, ovviamente quella ufficiale implica quella del Rudin ma il viceversa non mi è chiaro se è vero, avete suggerimenti?
Solo che sul Rudin "Analisi Reale e Complessa", ho trovato una definizione un po' diversa: con gli stessi significati della notazione del link, $f_n$ converge a $f$ in misura se $AA\epsilon>0, \mu({x\inX||f(x)-f_n(x)|>\epsilon})<\epsilon$, definitivamente .
Mi chiedevo se fossero equivalenti o meno, ovviamente quella ufficiale implica quella del Rudin ma il viceversa non mi è chiaro se è vero, avete suggerimenti?
Risposte
Mi ero posto anche io questa domanda tempo fa: sono uguali.
La dimostrazione sono 3/4 righe, sostanzialmente fissi $epsilon >0$, e applichi la definizione sui naturali $k$ tali per cui $k>1/epsilon$.
Alla fine ottieni che per ogni $k$ esiste un $n(epsilon,k)$ tale per cui $\mu({x\inX||f(x)-f_n(x)|>epsilon})<\1/k$ per ogni $n>=n(epsilon,k) $, e segue la tesi
La dimostrazione sono 3/4 righe, sostanzialmente fissi $epsilon >0$, e applichi la definizione sui naturali $k$ tali per cui $k>1/epsilon$.
Alla fine ottieni che per ogni $k$ esiste un $n(epsilon,k)$ tale per cui $\mu({x\inX||f(x)-f_n(x)|>epsilon})<\1/k$ per ogni $n>=n(epsilon,k) $, e segue la tesi
Grazie per la risposta, ora non ho tempo per pensarci ma lo farò senz'altro!
Fissa $epsilon >0$.
Per definizione di limite, in corrispondenza di qualsiasi $sigma >0$ esiste $nu = nu_(epsilon , sigma) in NN$ tale che per ogni $n >= nu$ si ha $mu( \{ |f_n - f | > epsilon \}) < sigma$.
Visto che $sigma$ è arbitrariamente scelto, fissalo uguale a…
Per definizione di limite, in corrispondenza di qualsiasi $sigma >0$ esiste $nu = nu_(epsilon , sigma) in NN$ tale che per ogni $n >= nu$ si ha $mu( \{ |f_n - f | > epsilon \}) < sigma$.
Visto che $sigma$ è arbitrariamente scelto, fissalo uguale a…
Chiaramente la definizione ufficiale implica quella del Rudin, io volevo sapere se è vero anche il viceversa 
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