Dedurre valore di serie, da serie di Fourier

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Calcola la serie di Fourier di \(f(x)= \left| \sin(x) \right| \) e deduci il valore di
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4n^2-1)^2} \]
Allora calcolando la serie di Fourier ho trovato
\[ \left| \sin(x) \right| = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{1-4n^2} \]
Chiaramente se \( x= \pi \) riesco a calcolare
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-4n^2} = - \frac{1}{2} \]
Ma non vedo come dedurre il valore dell'altra...
Guardando su wolfram ottengo che quella serie è \( \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2} \)

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Okay ci sono,
abbiamo per il teorema di Parseval che se \(f \in L^1 (-T/2,T/2) \) allora abbiamo che
\[ \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + b_n^2 \]
Allora poiché \( \left| \sin(x) \right| \in L^1(-\pi/2,\pi/2) \) ed è \( \pi\)-periodica abbiamo che
\[ \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) dx = 1 = \frac{8}{\pi^2} + \frac{16}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1-4n^2)^2} \]
Pertanto risulta che
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-4n^2)^2} = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2} \]