Decomposizione in fratti semplici con i residui
Calcolare l'anti-trasformata di Laplace di $X(s) = \frac{5}{(s^2+25)^2}$
L'ho svolto in due modi: con i residui e con la formula di Hermite
[size=130]Residui[/size]
$\text{L}^{-1} (\frac{5}{(s^2+25)^2}) = \text{L}^{-1}(\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}+\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
Calcolo solo i residui in $A$ e $C$ poichè $A = \overline{B}$ e $C = \overline{D}$
$A = \text{Res}(X(s), 5j) = -\frac{j}{100}$
$C = \text{Res}(X(s)(s-5j), 5j) = -\frac{1}{20}$
Dunque basta anti-trasformare
$\text{L}^{-1}[-j/100 \cdot 1/(s-5j) + j/100 \cdot 1/(s+5j) - 1/20 \cdot 1/(s-5j)^2 - 1/20 \cdot 1/(s+5j)^2]$
che è banale.
[size=130]Formula di Hermite[/size]
Con Hermite riscrivo la $X(s)$ come $\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}- d/(ds)(\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
dove $A$, $B$, $C$ e $D$ li ricavo con i residui come fatto in precedenza.
Senza troppi giri di parole, derivando quella quantità e rimettendo a posto i calcoli mi ritrovo nuovamente ad anti-trasformare
$\text{L}^{-1}[-j/100 \cdot 1/(s-5j) + j/100 \cdot 1/(s+5j) - 1/20 \cdot 1/(s-5j)^2 - 1/20 \cdot 1/(s+5j)^2]$
.
Dubitando che sia un "caso", la mia prima domanda allora è: che connessione c'è tra i due metodi?
Quale mi conviene adottare e in quali casi, se alla fine devo pur sempre calcolare i residui?
.
Un altro dubbio, che in qualche modo somiglia al primo, mi è sorto quando ho dovuto anti-trasformare $F(s) = \frac{s+1}{(s+1-2j)(s+1+2j)}$ che ha evidentemente due poli semplici complessi coniugati $-1\pm 2j$
Scomponendo in fratti semplici ottengo
$\text{L}^{-1} [A/(s+1-2j) + B/(s+1+2j)]$
ma quando calcolo i residui per trovare $A$ e $B$ scopro che i due residui coincidono
$A = \text{Res}(F(s),-1+2j) = 1/2$
$B = \text{Res}(F(s),-1-2j) = 1/2$
la mia seconda domanda quindi è: come mai? Il mio sospetto è che ciò accade perchè sono complessi coniugati: che relazione c'è tra questi e i residui?
.
Grazie in anticipo per le delucidazioni!
L'ho svolto in due modi: con i residui e con la formula di Hermite
[size=130]Residui[/size]
$\text{L}^{-1} (\frac{5}{(s^2+25)^2}) = \text{L}^{-1}(\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}+\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
Calcolo solo i residui in $A$ e $C$ poichè $A = \overline{B}$ e $C = \overline{D}$
$A = \text{Res}(X(s), 5j) = -\frac{j}{100}$
$C = \text{Res}(X(s)(s-5j), 5j) = -\frac{1}{20}$
Dunque basta anti-trasformare
$\text{L}^{-1}[-j/100 \cdot 1/(s-5j) + j/100 \cdot 1/(s+5j) - 1/20 \cdot 1/(s-5j)^2 - 1/20 \cdot 1/(s+5j)^2]$
che è banale.
[size=130]Formula di Hermite[/size]
Con Hermite riscrivo la $X(s)$ come $\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}- d/(ds)(\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
dove $A$, $B$, $C$ e $D$ li ricavo con i residui come fatto in precedenza.
Senza troppi giri di parole, derivando quella quantità e rimettendo a posto i calcoli mi ritrovo nuovamente ad anti-trasformare
$\text{L}^{-1}[-j/100 \cdot 1/(s-5j) + j/100 \cdot 1/(s+5j) - 1/20 \cdot 1/(s-5j)^2 - 1/20 \cdot 1/(s+5j)^2]$
.
Dubitando che sia un "caso", la mia prima domanda allora è: che connessione c'è tra i due metodi?
Quale mi conviene adottare e in quali casi, se alla fine devo pur sempre calcolare i residui?
.
Un altro dubbio, che in qualche modo somiglia al primo, mi è sorto quando ho dovuto anti-trasformare $F(s) = \frac{s+1}{(s+1-2j)(s+1+2j)}$ che ha evidentemente due poli semplici complessi coniugati $-1\pm 2j$
Scomponendo in fratti semplici ottengo
$\text{L}^{-1} [A/(s+1-2j) + B/(s+1+2j)]$
ma quando calcolo i residui per trovare $A$ e $B$ scopro che i due residui coincidono
$A = \text{Res}(F(s),-1+2j) = 1/2$
$B = \text{Res}(F(s),-1-2j) = 1/2$
la mia seconda domanda quindi è: come mai? Il mio sospetto è che ciò accade perchè sono complessi coniugati: che relazione c'è tra questi e i residui?
.
Grazie in anticipo per le delucidazioni!
Risposte
1. Certo che non è un caso: la decomposizione in fratti semplici è unica.
La seconda conviene sempre nel caso di poli multipli, perché una derivata si antitrasforma facilmente.
2. I numeri reali sono gli unici che coincidono con i propri coniugati.
La seconda conviene sempre nel caso di poli multipli, perché una derivata si antitrasforma facilmente.
2. I numeri reali sono gli unici che coincidono con i propri coniugati.
"gugo82":
2. I numeri reali sono gli unici che coincidono con i propri coniugati.
Riguardo questo punto: mi sfugge perchè noi osserviamo che $A = \overline{B}$
Perchè lo diciamo a priori senza conoscere effettivamente chi siano $A$ e $B$ ma conoscendo solo i loro rispettivi denominatori?
Sinceramente non capisco la domanda... Dovresti sapere che c'è un bel teoremino che ti dice che i residui complessi di una funzione reale associati a poli coniugati sono anch'essi coniugati; dunque, quando uno dei due residui è reale, anche l'altro lo è ed i due coincidono.
Grazie mille!
Poc'anzi ho scoperto un altro metodo ancora per la decomposizione (d'oh)
La funzione in esame è $Y(s) = \frac{1}{(s-3)^2(s^2-6s+10)^2}$
In cui $s = 3$ è un polo doppio e $s = 3\pm j$ poli doppi complessi coniugati.
Io ho scomposto in questa maniera
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j)^2 + F/(s-3-j)^2]$
osservando che $C = \overline{D}$ e $E = \overline{F}$ calcolo i residui per ottenere $A,B,C$ ed $E$
Il docente invece ha proposto quest'altra scomposizione
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + 2\alpha \frac{s-3}{(s-3)^2+1} - 2\beta \frac{1}{(s-3)^2+1} - d/(ds)[2\gamma \frac{s-3}{(s-3)^2+1} - 2\delta \frac{1}{(s-3)^2+1}]$
che sinceramente non capisco nè perchè l'ha usata nè quando conviene usarla se confrontata con la mia...
Con il mio metodo trovo che i residui che ho calcolato sono tutti giusti e mi trovo con lui... [size=120]ma[/size] siccome lui moltiplica per $2 alpha$ a me vien fuori $3/4$ e a lui $3/2$ ... inoltre lui a numeratore ha messo $s-3$ mentre io solo le lettere... e a denominatore io ho messo un fattore per ogni frazione, lui invece proprio tutto il quadrato
Di conseguenza l'anti-trasformata di Laplace mi sta venendo diversa dalla sua...
Cosa sbaglio? Qualcuno può togliermi questa confusione?
La funzione in esame è $Y(s) = \frac{1}{(s-3)^2(s^2-6s+10)^2}$
In cui $s = 3$ è un polo doppio e $s = 3\pm j$ poli doppi complessi coniugati.
Io ho scomposto in questa maniera
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j)^2 + F/(s-3-j)^2]$
osservando che $C = \overline{D}$ e $E = \overline{F}$ calcolo i residui per ottenere $A,B,C$ ed $E$
Il docente invece ha proposto quest'altra scomposizione
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + 2\alpha \frac{s-3}{(s-3)^2+1} - 2\beta \frac{1}{(s-3)^2+1} - d/(ds)[2\gamma \frac{s-3}{(s-3)^2+1} - 2\delta \frac{1}{(s-3)^2+1}]$
che sinceramente non capisco nè perchè l'ha usata nè quando conviene usarla se confrontata con la mia...
Con il mio metodo trovo che i residui che ho calcolato sono tutti giusti e mi trovo con lui... [size=120]ma[/size] siccome lui moltiplica per $2 alpha$ a me vien fuori $3/4$ e a lui $3/2$ ... inoltre lui a numeratore ha messo $s-3$ mentre io solo le lettere... e a denominatore io ho messo un fattore per ogni frazione, lui invece proprio tutto il quadrato
Di conseguenza l'anti-trasformata di Laplace mi sta venendo diversa dalla sua...
Cosa sbaglio? Qualcuno può togliermi questa confusione?
Pensavo di averlo già scritto prima, ma invece no...
Guarda che stai sbagliando a scrivere sempre la formula di Hermite.
Determini scomposizioni che non funzionano.
Guarda che stai sbagliando a scrivere sempre la formula di Hermite.
Determini scomposizioni che non funzionano.
E' corretta ora?
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j) + F/(s-3-j)]$
con $A,B,C,D,E,F$ da determinare calcolando i residui
$A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j) + F/(s-3-j)]$
con $A,B,C,D,E,F$ da determinare calcolando i residui
Appunto.
E, se svolgi i calcoli, ti accorgi che la decomposizione che scrivi tu e quella del docente sono esattamente la stesa cosa: basta scegliere bene le costanti "greche".
E, se svolgi i calcoli, ti accorgi che la decomposizione che scrivi tu e quella del docente sono esattamente la stesa cosa: basta scegliere bene le costanti "greche".
Sembra che ci sono quasi, ma non mi trovo ancora perfettamente con il risultato
$\text{L}^{-1}[X(s)] = \text{L}^{-1} {A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j) + F/(s-3-j)]}$
osservando che $C = \overline{D}$ e $E = \overline{F}$ ma il residuo calcolato per ottenere $E$ è lo stesso di quello calcolato per ottenere $C$ e quindi $E = C$ e $F = \overline{C} = D$ (giusto?)
Trovo quindi che
$\text{L}^{-1}[X(s)] = \text{L}^{-1} {A/(s-3) + B/(s-3)^2 + C/(s-3+j) + D/(s-3-j) - d/(ds) [E/(s-3+j) + F/(s-3-j)]}$
osservando che $C = \overline{D}$ e $E = \overline{F}$ ma il residuo calcolato per ottenere $E$ è lo stesso di quello calcolato per ottenere $C$ e quindi $E = C$ e $F = \overline{C} = D$ (giusto?)
Trovo quindi che
[*:29zx6aq2]$A = 0$[/*:m:29zx6aq2]
[*:29zx6aq2]$B = 1$[/*:m:29zx6aq2]
[*:29zx6aq2]$C = -3/4j$[/*:m:29zx6aq2]
[*:29zx6aq2]$D = \overline{C} = 3/4j$[/*:m:29zx6aq2]
[*:29zx6aq2]$E = C = -3/4j$[/*:m:29zx6aq2]
[*:29zx6aq2]$F = D = 3/4j$[/*:m:29zx6aq2][/list:u:29zx6aq2]
Dunque antitrasformo
$\text{L}^{-1} {1/(s-3)^2 - (3j)/(4(s-3+j)) + (3j)/(4(s-3-j)) - d/(ds) [- (3j)/(4(s-3+j)) + (3j)/(4(s-3-j))]}$
ottenendo
$x(t) = te^(3t) - (3j)/4e^{(3-j)t} + (3j)/4e^{(3+j)t} - (3j)/4te^{(3-j)t} + (3j)/4te^{(3+j)t} $
mentre la soluzione dovrebbe essere
$x(t) = te^(3t) - (3j)/4e^{(3-j)t} + (3j)/4e^{(3+j)t} - 1/4te^{(3-j)t} + 1/4te^{(3+j)t}$
Gli ultimi due termini non coincidono... mi ritrovo un $3j$ di troppo al numeratore.
Dove sbaglio? Grazie
Stessa cosa se volessi usare Hermite per decomporre $f(x) = x^3 / (1+x^2)^2$
$f(x) = x^3 / ((x-j)^2 + (x+j)^2) = A/(x-j) + B / (x+j) - d/dx [C/(x-j) + D/(x+j)]$
dove $A = C$ e $B = D$
Con i residui trovo che $A = B = 1/2$ quindi $A = B = C = D = 1/2$
calcolo la derivata e ottengo infine
$f(x) = 1/2 * [1/(x-j) + 1/(x+j) + 1/(x-j)^2 + 1/(x+j)^2]$
Dove sbaglio (ancora)?
Grazie in anticipo.
$f(x) = x^3 / ((x-j)^2 + (x+j)^2) = A/(x-j) + B / (x+j) - d/dx [C/(x-j) + D/(x+j)]$
dove $A = C$ e $B = D$
Con i residui trovo che $A = B = 1/2$ quindi $A = B = C = D = 1/2$
calcolo la derivata e ottengo infine
$f(x) = 1/2 * [1/(x-j) + 1/(x+j) + 1/(x-j)^2 + 1/(x+j)^2]$
Dove sbaglio (ancora)?
Grazie in anticipo.
Ma perché $A=C$ e $B=D$?
Dimostralo... Oppure mostra i calcoli che fai.
Dimostralo... Oppure mostra i calcoli che fai.
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