Corrispondenza di Furstenberg
Avrei un paio di domande (alla fine) riguardo questa dimostrazione
Per ogni \( A \subseteq \mathbb{N} \) esiste uno spazio metrico compatto \(X\), una misura di Borel \( \mu \) su \(X\), una trasformazione continua che preserva la misura \(T:X \to X \), un punto \(x \in X \) che è generico per \( \mu \) lungo una successione \((I_k)_{k \in \mathbb{N} } \) di intervalli la cui lunghezza si riduce all'infinito (whose length dents to infinity), e un insieme aperto-chiuso \(E \subseteq X \) tale che \( \mu(E) = \overline{d}(A) \) e \(A=\{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \).
Dimostrazione:
Sia \( X= \{0,1\}^{\mathbb{N}} \) e sia \(T: X \to X \) il shift a sinistra, prendiamo una successione \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) in modo tale che
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N_k \} \right|}{N_k} = \limsup_{N \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N \} \right|}{N} = \overline{d}(A) \]
E sia \(x=\mathbb{1}_A \). Rimpiazzando se necessario \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) con una sua sottosucessione, possiamo assumere che \(x \) è generico lungo \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) per qualche misura di Borel \( \mu \) e dove \(I_k = \{ N_1, \ldots , N_k \} \). Infinie sia \(E = \{ w \in X : w(0)=1 \} \), notiamo che \(E\) è sia aperto che chiuso, inoltre per costruzione abbiamo che \( A = \{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \), inoltre abbiamo che
\[ \mu(E) = \int \mathbb{1}_E d\mu = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{N_k} \sum_{n=1}^{N_k} \mathbb{1}_E(T^n x) \]
\[ =\lim_{k \to \infty} \frac{1}{N_k} \sum_{n=1}^{N_k} \mathbb{1}_A(n) = \lim_{k \to \infty} = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N_k \} \right|}{N_k} = \overline{d}(A) \]
Avrei un paio di domande:
1) Cosa vuol dire "whose length dents to infinity" ? Inizialmente ho creduto fosse un typo e volesse scrivere tends, ma non credo sia un typo, perché è ripetuto tipo in più di una decina di pagine.
2) Non capisco come costruisce gli intervalli, a me non sembrano degli intervalli la sequenza \( (N_k)_{k \in \mathbb{N} } \), a meno che gli intervalli non siano \( I_k = \{ 1, \ldots , N_k \} \) non capisco. Un punto è detto generico per \( \mu \) se
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} f(T^n x) = \int f d \mu \]
per ogni \(f \in C(X) \). E più in generale se \( (I_k)_{k \in \mathbb{N}} \) è una successione di intervalli in \( \mathbb{N} \) la cui lunghezza si riduce all'infinito, allora \(x\) è detto generico per \( \mu \) lungo \( (I_k)_k \) se
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\left| I_k \right|} \sum_{n \in I_k} f(T^n x) = \int f d \mu \]
per ogni funzione \(f \in C(X) \).
Se prende \( I_k = \{ 1, \ldots , N_k \} \) avrebbe senso la prima uguaglianza (sempre che \( 1_E \in C(X)\) ma mi pare di sì), però dopo non capisco perché non mi sembra che la lunghezza si riduca all'infinito.
3) Francamente non vedo perché \( A = \{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \)
Per ogni \( A \subseteq \mathbb{N} \) esiste uno spazio metrico compatto \(X\), una misura di Borel \( \mu \) su \(X\), una trasformazione continua che preserva la misura \(T:X \to X \), un punto \(x \in X \) che è generico per \( \mu \) lungo una successione \((I_k)_{k \in \mathbb{N} } \) di intervalli la cui lunghezza si riduce all'infinito (whose length dents to infinity), e un insieme aperto-chiuso \(E \subseteq X \) tale che \( \mu(E) = \overline{d}(A) \) e \(A=\{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \).
Dimostrazione:
Sia \( X= \{0,1\}^{\mathbb{N}} \) e sia \(T: X \to X \) il shift a sinistra, prendiamo una successione \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) in modo tale che
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N_k \} \right|}{N_k} = \limsup_{N \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N \} \right|}{N} = \overline{d}(A) \]
E sia \(x=\mathbb{1}_A \). Rimpiazzando se necessario \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) con una sua sottosucessione, possiamo assumere che \(x \) è generico lungo \((N_k)_{k \in \mathbb{N}} \) per qualche misura di Borel \( \mu \) e dove \(I_k = \{ N_1, \ldots , N_k \} \). Infinie sia \(E = \{ w \in X : w(0)=1 \} \), notiamo che \(E\) è sia aperto che chiuso, inoltre per costruzione abbiamo che \( A = \{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \), inoltre abbiamo che
\[ \mu(E) = \int \mathbb{1}_E d\mu = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{N_k} \sum_{n=1}^{N_k} \mathbb{1}_E(T^n x) \]
\[ =\lim_{k \to \infty} \frac{1}{N_k} \sum_{n=1}^{N_k} \mathbb{1}_A(n) = \lim_{k \to \infty} = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| A \cap \{1,\ldots, N_k \} \right|}{N_k} = \overline{d}(A) \]
Avrei un paio di domande:
1) Cosa vuol dire "whose length dents to infinity" ? Inizialmente ho creduto fosse un typo e volesse scrivere tends, ma non credo sia un typo, perché è ripetuto tipo in più di una decina di pagine.
2) Non capisco come costruisce gli intervalli, a me non sembrano degli intervalli la sequenza \( (N_k)_{k \in \mathbb{N} } \), a meno che gli intervalli non siano \( I_k = \{ 1, \ldots , N_k \} \) non capisco. Un punto è detto generico per \( \mu \) se
\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} f(T^n x) = \int f d \mu \]
per ogni \(f \in C(X) \). E più in generale se \( (I_k)_{k \in \mathbb{N}} \) è una successione di intervalli in \( \mathbb{N} \) la cui lunghezza si riduce all'infinito, allora \(x\) è detto generico per \( \mu \) lungo \( (I_k)_k \) se
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\left| I_k \right|} \sum_{n \in I_k} f(T^n x) = \int f d \mu \]
per ogni funzione \(f \in C(X) \).
Se prende \( I_k = \{ 1, \ldots , N_k \} \) avrebbe senso la prima uguaglianza (sempre che \( 1_E \in C(X)\) ma mi pare di sì), però dopo non capisco perché non mi sembra che la lunghezza si riduca all'infinito.
3) Francamente non vedo perché \( A = \{ n \in \mathbb{N} : T^n x \in E \} \)
Risposte
Per ora ti posso rispondere solo alla 3), non so se poi ti potrò rispondere anche alle altre, comunque è vera perchè in $E$ ci stanno le successioni che iniziano con $1$ e la condizione che c'è scritta tra le graffe vuol dire che l'ennesimo valore della $x$ è $1$, cioè $n\inA$, in quanto funzione caratteristica di $A$.
Anzi ti posso dire che la mia risposta a 1) è un sonoro BOH!, la 2) non l'ho ancora vista, la guardo dopo.
Anzi ti posso dire che la mia risposta a 1) è un sonoro BOH!, la 2) non l'ho ancora vista, la guardo dopo.
Ti ringrazio per la risposta alla 3), ho capito, facevo confusione, grazie!
Edit:
Per 1) è possibile che il soci ha fatto copia incolla della frase e quindi ha sbagliato una volta con scambiando la "d" e la "t" e l'errore si è propagato, oppure davvero non saprei, non trovo da nessuna parte nemmeno la definizione con gli intervalli di punto generico. Secondo me ha più senso dire "tends" perché così la sommatoria diventa una serie al tendere di \(k \to \infty \) e diventa sensato che sia uguale ad un integrale, se invece sono intervalli finiti mi sembrerebbe strano!
Edit:
Per 1) è possibile che il soci ha fatto copia incolla della frase e quindi ha sbagliato una volta con scambiando la "d" e la "t" e l'errore si è propagato, oppure davvero non saprei, non trovo da nessuna parte nemmeno la definizione con gli intervalli di punto generico. Secondo me ha più senso dire "tends" perché così la sommatoria diventa una serie al tendere di \(k \to \infty \) e diventa sensato che sia uguale ad un integrale, se invece sono intervalli finiti mi sembrerebbe strano!
Mi sa che $I_k=\{1,...,N_k\}$, e che "dents" fosse veramente "tends", così dovrebbe tornare tutto.
Mi sa anche a me!
Se posso ancora una domanda:
Il prof ha usato (anche) il seguente lemma per dimostrare in corso la congettura di Erdös (https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_sumset_conjecture),
Lemma
Possiamo assumere senza perdita di generalità che il sistema ottenuto dal principio della corrispondenza di Furstenberg è ergodico e possiede autofunzioni continue.
Sfortunatamente non ci ha fornito la dimostrazione e io non capisco come poterlo dimostrare ne trovo questo lemma da nessuna parte...
Se posso ancora una domanda:
Il prof ha usato (anche) il seguente lemma per dimostrare in corso la congettura di Erdös (https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_sumset_conjecture),
Lemma
Possiamo assumere senza perdita di generalità che il sistema ottenuto dal principio della corrispondenza di Furstenberg è ergodico e possiede autofunzioni continue.
Sfortunatamente non ci ha fornito la dimostrazione e io non capisco come poterlo dimostrare ne trovo questo lemma da nessuna parte...
Non ti so aiutare per quello.
Allora ho trovato una dimostrazione che dice che uno schema di Bernoulli è ergodico (anche se non ho capito due cose della dimostrazione, in grassetto le parti che non ho capito).
Però francamente qui non so se è uno schema di Bernoulli perché nella prova di Furstenberg non mi dice cos'è la misura, dice solo che esiste una misura tale per cui \(x\) è generico. Quindi magari si può ricondursi in qualche modo ad uno schema di Bernoulli.
Sia \( \mu_0 \) una misura su \( \{0,1\} \),
\[ \mu( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_k = a_k \} ) = \prod_{i=0}^{k} \mu_0(\{a_k\}) \]
dove \( a_i \in \{0,1\} \). Inoltre possiamo dimostrare che gli insiemi della forma \( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_k = a_k \} \) generano una \(\sigma\)-algebra di Borel. Ora abbiamo che \((X,\mathcal{B}, \mu,T ) \) è ergodico infatti si può dimostrare che per ogni \( A \in \mathcal{B} \) abbiamo che \( T^{-1}A = A \) implica che \( \mu(A)=0 \) o \( \mu(A)=1\). Definiamo infatti \( \mathcal{B}\) essere l'unione di tutti i set della forma di cui sopra.
Non ho capito perché questo insieme esiste \(B\) per un arbitrario \( \epsilon \)
Per un arbitrario \( \epsilon > 0 \) fissato abbiamo che possiamo scegliere un unione finita \(B\) di insiemi della forma \( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_{k}= a_k \} \) tale per cui
\[ \mu(A \Delta B ) \leq \epsilon \]
Dopo di che possiamo dimostrare che
\[ \left| \mu(A) - \mu(B) \right| \leq \epsilon \]
Ora poiché \(B\) unione di insiemi di quella forma e quindi la sua misura è determinata solo da una quantità finita di insiemi che non sono l'intero spazio \(X\). Possiamo assumere che solo le prime \(k\) posizioni di una successione contribuiscono alla misura di \(B\), per finitezza dunque esiste \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( C= T^{-n} B \) ha le coordinate costituenti che sono tutte a destra della \(k\)-esima posizione. Ad esempio se \(B\) è l'insieme in cui la prima coordinata dev'essere \(1\) allora \(n = 1 \) e \(C\) è l'insieme in cui la seconda coordinata dev'essere \(1\).
Non ho capito perché sono disgiunti francamente
E poiché \(B\) e \(C\) sono disgiunti nelle coordinate che contribuiscono alla misura e poiché \(T\), ovvero lo shift a sinistra, è una trasformazione che preserva la misura allora abbiamo che \(\mu(B)=\mu(C)\), dunque segue
\[ \mu(B \cap C ) = \mu(B)^2 \]
Ora poiché \(A\) è un insieme strettamente \(T\)-invariante, i.e. \(T^{-1} A = A \) risulta che
\[ \mu(A \Delta C ) = \mu (T^{-n} A \Delta T^{-n} B ) = \mu(A \Delta B ) \leq \epsilon \]
Inoltre chiaramente
\[ \mu(A \Delta (B \cap C ) ) \leq 2 \epsilon \]
Da cui si può dimostrare facilmente che
\[ \left| \mu(A) - \mu(A)^2 \right| \leq \left| \mu(A)- \mu(B \cap C) \right| + \left| \mu(B \cap C) - \mu(A)^2\right| \]
\[ \leq 2 \epsilon + \left| \mu(B)^2 - \mu(A)^2\right| \leq 2 \epsilon + \mu(B)\epsilon + \mu(A) \epsilon \leq 4 \epsilon \]
Dove l'ultima disuguaglianza è dovuta al fatto che \((X,\mathcal{B}, \mu )\) è uno spazio di probabilità, quindi \( \mu(A), \mu(B) \leq 1 \)
Edit:
Per le autofunzioni che sono continue è facile poiché uno schema di Bernoulli è equipaggiato della topologia prodotto con \( \{0,1\} \) avente la topologia discreta pertanto un insieme \(U \subseteq X \) è aperto se e solo se per ogni \(x \in U \) esiste un certo \(k \in \mathbb{N} \) tale per cui se \( y \in X \) soddisfa \( y_i = x_i \) per ogni \( i \leq n \), allora \(y \in U \).
E vediamo che questi set generano la Borel algebra che è generata da aperti e da operazioni come unione, intersezione numerabili di aperti e il complemento. Pertanto abbiamo che \( f^{-1} U \) è aperto, infatti poiché \(f\) è misurabile (poiché in \(L^2\) siccome è un autofunzione) abbiamo che \( f^{-1} U \in \mathcal{B} \) dunque abbiamo 4 possibilità:
1) \( f^{-1} U \) è aperto e abbiamo finito oppure
2) \(f^{-1} U \) unione numerabile di aperti oppure
3) \( f^{-1} U \) intersezione numerabile di aperti oppure
4) \(f^{-1} U \) il complemento di un aperto
Se 2) abbiamo che \(f^{-1} U \) è aperto e abbiamo finito. Se 3) abbiamo che siccome gli aperti sono caratterizzati solo da un numero finito di coordinate allora anche l'intersezione numerabile di aperti è aperta. Se \( f^{-1} U = X \setminus V \) con \(V \) aperto, allora se \( V \) è caratterizzato dall'avere le prime \( k\)-coordinate \( x_1= a_1 , \ldots x_k = a_k \) risulta che \( X \setminus V \) è caratterizzato da \( x_1 = b_1 , \ldots , x_k = b_k \) con \( b_i \neq a_i \in \{ 0,1\} \) e dunque è aperto. E credo che questo dimostri che \(f\) è continua (che in questo spazio ogni funzione misurabile è continua ed in particolare ogni autofunzione)
Però francamente qui non so se è uno schema di Bernoulli perché nella prova di Furstenberg non mi dice cos'è la misura, dice solo che esiste una misura tale per cui \(x\) è generico. Quindi magari si può ricondursi in qualche modo ad uno schema di Bernoulli.
Sia \( \mu_0 \) una misura su \( \{0,1\} \),
\[ \mu( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_k = a_k \} ) = \prod_{i=0}^{k} \mu_0(\{a_k\}) \]
dove \( a_i \in \{0,1\} \). Inoltre possiamo dimostrare che gli insiemi della forma \( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_k = a_k \} \) generano una \(\sigma\)-algebra di Borel. Ora abbiamo che \((X,\mathcal{B}, \mu,T ) \) è ergodico infatti si può dimostrare che per ogni \( A \in \mathcal{B} \) abbiamo che \( T^{-1}A = A \) implica che \( \mu(A)=0 \) o \( \mu(A)=1\). Definiamo infatti \( \mathcal{B}\) essere l'unione di tutti i set della forma di cui sopra.
Non ho capito perché questo insieme esiste \(B\) per un arbitrario \( \epsilon \)
Per un arbitrario \( \epsilon > 0 \) fissato abbiamo che possiamo scegliere un unione finita \(B\) di insiemi della forma \( \{ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X : x_{0} = a_0 , \ldots, x_{k}= a_k \} \) tale per cui
\[ \mu(A \Delta B ) \leq \epsilon \]
Dopo di che possiamo dimostrare che
\[ \left| \mu(A) - \mu(B) \right| \leq \epsilon \]
Ora poiché \(B\) unione di insiemi di quella forma e quindi la sua misura è determinata solo da una quantità finita di insiemi che non sono l'intero spazio \(X\). Possiamo assumere che solo le prime \(k\) posizioni di una successione contribuiscono alla misura di \(B\), per finitezza dunque esiste \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( C= T^{-n} B \) ha le coordinate costituenti che sono tutte a destra della \(k\)-esima posizione. Ad esempio se \(B\) è l'insieme in cui la prima coordinata dev'essere \(1\) allora \(n = 1 \) e \(C\) è l'insieme in cui la seconda coordinata dev'essere \(1\).
Non ho capito perché sono disgiunti francamente
E poiché \(B\) e \(C\) sono disgiunti nelle coordinate che contribuiscono alla misura e poiché \(T\), ovvero lo shift a sinistra, è una trasformazione che preserva la misura allora abbiamo che \(\mu(B)=\mu(C)\), dunque segue
\[ \mu(B \cap C ) = \mu(B)^2 \]
Ora poiché \(A\) è un insieme strettamente \(T\)-invariante, i.e. \(T^{-1} A = A \) risulta che
\[ \mu(A \Delta C ) = \mu (T^{-n} A \Delta T^{-n} B ) = \mu(A \Delta B ) \leq \epsilon \]
Inoltre chiaramente
\[ \mu(A \Delta (B \cap C ) ) \leq 2 \epsilon \]
Da cui si può dimostrare facilmente che
\[ \left| \mu(A) - \mu(A)^2 \right| \leq \left| \mu(A)- \mu(B \cap C) \right| + \left| \mu(B \cap C) - \mu(A)^2\right| \]
\[ \leq 2 \epsilon + \left| \mu(B)^2 - \mu(A)^2\right| \leq 2 \epsilon + \mu(B)\epsilon + \mu(A) \epsilon \leq 4 \epsilon \]
Dove l'ultima disuguaglianza è dovuta al fatto che \((X,\mathcal{B}, \mu )\) è uno spazio di probabilità, quindi \( \mu(A), \mu(B) \leq 1 \)
Edit:
Per le autofunzioni che sono continue è facile poiché uno schema di Bernoulli è equipaggiato della topologia prodotto con \( \{0,1\} \) avente la topologia discreta pertanto un insieme \(U \subseteq X \) è aperto se e solo se per ogni \(x \in U \) esiste un certo \(k \in \mathbb{N} \) tale per cui se \( y \in X \) soddisfa \( y_i = x_i \) per ogni \( i \leq n \), allora \(y \in U \).
E vediamo che questi set generano la Borel algebra che è generata da aperti e da operazioni come unione, intersezione numerabili di aperti e il complemento. Pertanto abbiamo che \( f^{-1} U \) è aperto, infatti poiché \(f\) è misurabile (poiché in \(L^2\) siccome è un autofunzione) abbiamo che \( f^{-1} U \in \mathcal{B} \) dunque abbiamo 4 possibilità:
1) \( f^{-1} U \) è aperto e abbiamo finito oppure
2) \(f^{-1} U \) unione numerabile di aperti oppure
3) \( f^{-1} U \) intersezione numerabile di aperti oppure
4) \(f^{-1} U \) il complemento di un aperto
Se 2) abbiamo che \(f^{-1} U \) è aperto e abbiamo finito. Se 3) abbiamo che siccome gli aperti sono caratterizzati solo da un numero finito di coordinate allora anche l'intersezione numerabile di aperti è aperta. Se \( f^{-1} U = X \setminus V \) con \(V \) aperto, allora se \( V \) è caratterizzato dall'avere le prime \( k\)-coordinate \( x_1= a_1 , \ldots x_k = a_k \) risulta che \( X \setminus V \) è caratterizzato da \( x_1 = b_1 , \ldots , x_k = b_k \) con \( b_i \neq a_i \in \{ 0,1\} \) e dunque è aperto. E credo che questo dimostri che \(f\) è continua (che in questo spazio ogni funzione misurabile è continua ed in particolare ogni autofunzione)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo