Convoluzioni

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho per le mani il seguente esercizio: mostrare che su $L^2(RR)$ non esiste una funzione $v$ tale che $f ** v(x)=f(x)$ per ogni $f in L^2(RR)$

Onestamente non ho idee ed ho provato così:

Supponiamo che tale $v$ esista e siano $xne0$ fissato, \( f_n=\chi_{[-1/n,1/n]} \)

$f_n(x)=int_(RR)f_n(x-y)v(y)dy, forall n in NN$

ora \( f_n(x-y)=\chi_{[x-1/n,x+1/n]}(y):=g_n(y) \)

facendo due considerazioni a limite avremo:

1) $abs(int_(RR)f_n(x-y)v(y)dy)leqint_(RR)abs(g_n(y)*v(y))dyleq norm(g_n)_(L^2(RR))norm(v)_(L^2(RR))=norm(v)_(L^2(RR)) sqrt(2/n)->0$

2) $f_n(x) -> 1$ (su $xne0$)

il che è assurdo poichè si otterrebbe $0=1$ per ogni $xne0$

Non so, non mi convince.

[megas_archon]

In 2, volevi forse dire che \(f_n\to \chi_{\{0\}}\)? Perché non mi pare che, invece, converga a 1; quello che è vero è che \(\|f_n\| \to 1\) (la sup norma). Il fatto è che un elemento neutro per \(\ast\) (che brutto chiamarlo \(\times\)...) esiste solo come distribuzione, no?

[dissonance]

E perché \(f_n(x)\to 1\)?

[gugo82]

"megas_archon":(che brutto chiamarlo \(\times\))

Già... Ma ho rimediato.

@ anto_zoolander: Prova a fare il contrario... Prova a prendere $f_n = "mollificatore"$ ed a mostrare che $f_n ** v(x) -> v(x)$ puntualmente (q.o. o giù di lì); a quel punto prova a vedere se ti esce $v(x) = 0$ q.o. ed hai finito.

[dissonance]

"gugo":prova a prendere un mollificatore

Già. In pratica non c'è da cambiare quasi niente nello svolgimento, manca "solo" un denominatore nella definizione di \(f_n\)...