Convergenza usando la norma $|| * ||_{\infty}$
Buonasera a tutti,
Ho due dubbi riguardo la convergenza e le norme. Prima di fare le due domande, faccio una breve introduzione presentando anche una successione di funzioni da prendere un po' come esempio.
$f_n= { ( \sqrt{n} if x \in [0, frac{1}{n}] ),( frac{1}{\sqrt{x}} if x \in (frac{1}{n}, 1] ):} $
Consideriamo lo spazio $L^{\infty}\text{([0,1])}$ e la norma $|| * ||_{\infty}$ . In generale, la norma è la seguente:
$|| f ||_{\infty} = \text{inf } {M : |f(x)| <= M \text{ almost everywhere in}[0,1]}$
Dal momento che la successione di funzioni è, per ogni $n$ fissata, una funzione continua, posso scrivere:
$|| f ||_{\infty} = \text{sup}_{x \in [0,1]} {|f(x)|}$
Voglio studiare la convergenza di $f_n$ utilizzando la norma $|| * ||_{\infty}$.
Innanzitutto studio la convergenza puntuale di $f_n$
$ lim_(n -> +\infty) f_n= frac{1}{\sqrt(x)} $
Dopodiché osservo quale è la norma $|| * ||_{\infty}$ di $f_n$
$|| f_n ||_{\infty}= \sqrt{n}$
$1)$ Sapreste dirmi se la seguente frase è corretta?
"Dato che $|| f_n ||_{\infty}= \sqrt{n}$, la norma infinito della successione di funzioni non è limitata, e DUNQUE non può convergere a nessuna funzione di nessuno spazio utilizzando quella norma"
...Generalizzando...
Il fatto che la norma di una successione di funzioni non sia limitata, implica che quella successione di funzioni non può convergere a nessuna funzione di nessuno spazio utilizzando quella norma, giusto?
$2)$ Consideriamo il caso in cui la suddetta norma infinito di una successione di funzioni $f_n$ sia limitata, ovvero
$|| f_n ||_{\infty}= c <= M$ $\text{ , }c \in RR$.
Consideriamo altresì che $f_n$ converga puntualmente ad una funzione. Chiamo $tilde(f)(x)$ la funzione a cui converge puntualmente.
$ lim_(n -> +\infty) f_n= \tilde(f)(x)$
Se scopro che $f_n$ non converge a $\tilde(f)(x)$ utilizzando la norma infinito, cosa posso dire in generale?
(Ovvero, se scopro che $ lim_(n -> +\infty) || f_n - \tilde(f)(x) ||_{\infty} != 0$)
In questo caso, posso dire che $f_n$ non converge a nessuna funzione utilizzando la norma $|| * ||_{\infty}$ ? Se sì, perché?
Ho due dubbi riguardo la convergenza e le norme. Prima di fare le due domande, faccio una breve introduzione presentando anche una successione di funzioni da prendere un po' come esempio.
$f_n= { ( \sqrt{n} if x \in [0, frac{1}{n}] ),( frac{1}{\sqrt{x}} if x \in (frac{1}{n}, 1] ):} $
Consideriamo lo spazio $L^{\infty}\text{([0,1])}$ e la norma $|| * ||_{\infty}$ . In generale, la norma è la seguente:
$|| f ||_{\infty} = \text{inf } {M : |f(x)| <= M \text{ almost everywhere in}[0,1]}$
Dal momento che la successione di funzioni è, per ogni $n$ fissata, una funzione continua, posso scrivere:
$|| f ||_{\infty} = \text{sup}_{x \in [0,1]} {|f(x)|}$
Voglio studiare la convergenza di $f_n$ utilizzando la norma $|| * ||_{\infty}$.
Innanzitutto studio la convergenza puntuale di $f_n$
$ lim_(n -> +\infty) f_n= frac{1}{\sqrt(x)} $
Dopodiché osservo quale è la norma $|| * ||_{\infty}$ di $f_n$
$|| f_n ||_{\infty}= \sqrt{n}$
Domande
$1)$ Sapreste dirmi se la seguente frase è corretta?
"Dato che $|| f_n ||_{\infty}= \sqrt{n}$, la norma infinito della successione di funzioni non è limitata, e DUNQUE non può convergere a nessuna funzione di nessuno spazio utilizzando quella norma"
...Generalizzando...
Il fatto che la norma di una successione di funzioni non sia limitata, implica che quella successione di funzioni non può convergere a nessuna funzione di nessuno spazio utilizzando quella norma, giusto?
$2)$ Consideriamo il caso in cui la suddetta norma infinito di una successione di funzioni $f_n$ sia limitata, ovvero
$|| f_n ||_{\infty}= c <= M$ $\text{ , }c \in RR$.
Consideriamo altresì che $f_n$ converga puntualmente ad una funzione. Chiamo $tilde(f)(x)$ la funzione a cui converge puntualmente.
$ lim_(n -> +\infty) f_n= \tilde(f)(x)$
Se scopro che $f_n$ non converge a $\tilde(f)(x)$ utilizzando la norma infinito, cosa posso dire in generale?
(Ovvero, se scopro che $ lim_(n -> +\infty) || f_n - \tilde(f)(x) ||_{\infty} != 0$)
In questo caso, posso dire che $f_n$ non converge a nessuna funzione utilizzando la norma $|| * ||_{\infty}$ ? Se sì, perché?
Risposte
Per 1), prendi una successione \( (f_n)_n \) di funzioni \( f_n\colon E\to F \) tra spazi normati; fai che tutte siano limitate e supponi che convergano a una funzione \( f\colon E\to F \); dimostra che anche \( f \) è necessariamente limitata, e
\[
\lim_{n\to \infty}\lVert f_n\rVert = \lVert f\rVert\text{.}
\]
EDIT: Per 2) ho letto male quello che hai scritto. Se \( (f_n)_n \) va puntualmente su \( f \) ma non le converge uniformemente, allora non converge uniformemente a nessuna \( f \). Il motivo è quello che ho scritto prima di modificare: se \( f_n\to f \) uniformemente, allora la convergenza è anche puntuale; ora usa la contronominale.
\[
\lim_{n\to \infty}\lVert f_n\rVert = \lVert f\rVert\text{.}
\]
EDIT: Per 2) ho letto male quello che hai scritto. Se \( (f_n)_n \) va puntualmente su \( f \) ma non le converge uniformemente, allora non converge uniformemente a nessuna \( f \). Il motivo è quello che ho scritto prima di modificare: se \( f_n\to f \) uniformemente, allora la convergenza è anche puntuale; ora usa la contronominale.
Per la 2 devi solo aggiungere "quasi ovunque" alla convergenza puntuale. Altrimenti é falso.
@dissonance, intendi che dev'essere \( \lim_{n\to \infty}f_n(x) = f(x) \) tranne al più che per gli \( x \) in un insieme di misura nulla? Perché a me la convergenza puntuale è stata definita in maniera più forte (\( f_n \to f \) puntualmente se \( \lim_{n\to \infty}f_n(x) = f(x) \) per ogni \( x \)).
Esatto. Il fatto che $\lVert f_n-f\rVert_\infty\to 0$ implica che $f_n(x)\to f(x)$ quasi ovunque, non necessariamente per ogni $x$.
Ma non è che stiamo usando definizioni diverse? Se \( (f_n)_n\to f \), preso un \( \epsilon > 0 \) hai
\[
\lVert f_n - f\rVert_\infty = \sup_{x\in A}\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \epsilon
\] per \( n \) abbastanza grande, quindi hai anche
\[
\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \sup_{x\in A}\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \epsilon
\] per ogni \( x\in A \), per \( n \) abbastanza grande. Ma questa è la definizione di convergenza puntuale. Questo se \( (f_n)_n \) è una successione di funzioni limitate definite su un qualche \( A\subset E \).
Quindi, se \( (f_n(x))_n\to f(x) \) per ogni \( x\in A \) (cioè, se \( f_n \) converge puntualmente a \( f \)), ma \( (f_n)_n\not\to f \) (e cioè se non le converge uniformemente), allora non può esserci una funzione \( g \) tale che \( (f_n)_n\to g \): dovrebbe essere anche \( (f_n(x))_n\to g(x) \) per ogni \( x\in A \), ma a questo punto hai l'assurdo \( f(x) = g(x) \) per ogni \( x\in A \).
[size=150]EDIT[/size]: Ah, forse ho capito! OP sta lavorando in \( L^\infty \), che è lo spazio delle funzioni limitate tranne al più che su un insieme di misura nulla; non sta lavorando sullo spazio delle limitate.
\[
\lVert f_n - f\rVert_\infty = \sup_{x\in A}\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \epsilon
\] per \( n \) abbastanza grande, quindi hai anche
\[
\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \sup_{x\in A}\lVert f_n(x) - f(x)\rVert_F < \epsilon
\] per ogni \( x\in A \), per \( n \) abbastanza grande. Ma questa è la definizione di convergenza puntuale. Questo se \( (f_n)_n \) è una successione di funzioni limitate definite su un qualche \( A\subset E \).
Quindi, se \( (f_n(x))_n\to f(x) \) per ogni \( x\in A \) (cioè, se \( f_n \) converge puntualmente a \( f \)), ma \( (f_n)_n\not\to f \) (e cioè se non le converge uniformemente), allora non può esserci una funzione \( g \) tale che \( (f_n)_n\to g \): dovrebbe essere anche \( (f_n(x))_n\to g(x) \) per ogni \( x\in A \), ma a questo punto hai l'assurdo \( f(x) = g(x) \) per ogni \( x\in A \).
[size=150]EDIT[/size]: Ah, forse ho capito! OP sta lavorando in \( L^\infty \), che è lo spazio delle funzioni limitate tranne al più che su un insieme di misura nulla; non sta lavorando sullo spazio delle limitate.
"marco2132k":
[size=150]EDIT[/size]: Ah, forse ho capito! OP sta lavorando in \( L^\infty \), che è lo spazio delle funzioni limitate tranne al più che su un insieme di misura nulla; non sta lavorando sullo spazio delle limitate.
Mi scuso se non ho potuto rispondere in questi giorni, ma ho avuto dei giorni estremamente intensi.
Vi ringrazio Marco e dissonance per avermi risposto e per aver fatto alcune precisazioni non banali, è stato molto utile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo