Convergenza puntuale della serie di Fourier

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Sia \(f \) la funzione \(2\pi\)- periodica definita su \( [-\pi,\pi[ \) da
\[ f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{\pi-x}{2}& \text{se} &x \in ]0,\pi[ \\
0&\text{se} &x=0 \\
\frac{-\pi-x}{2}& \text{se} &x \in [-\pi,0[
\end{matrix}\right. \]
Calcolare la serei complessa di Fourier \(Ff(x) \) e comparare \(Ff(x) \) e \(f(x) \) per ogni \( x \in ]-\pi,\pi[ \), in particolare per \(f(0)\).

Allora io ho trovato che la serie di Fourier complessa di \(f \) è data da
\[ Ff(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{0 < \left| n \right| \leq N} \frac{e^{inx}}{2in} \]

Allora abbiamo che \( Ff(0) = \lim_{N \to \infty} \sum_{0 < \left| n \right| \leq N} \frac{1}{2in} = 0 \).
E \(f(0) = 0 \) dunque in 0 sono uguali.
Al di fuori di \(\{0\}\) direi che la funzione è Lipschitz poiché di derivata limitata, pertanto posso dire che converge puntualmente.

Mentre le correzioni dicono: utilizziamo il teorema di Dirichlet e troviamo che per ogni \(x \in ]-\pi,\pi[ \) abbiamo \( Ff(x) - f(x) = 0 \). Compreso \( x=0 \) poiché \( f(0^+)+f(0^-) = 0 \).

Il Teorema di Dirichlet è il seguente: Sia \( \alpha \in ]0,1] \), \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( 2 \pi \) periodica e \( L^1(-\pi,\pi)\) allora

i) Se \( f \in \mathcal{C}^{0,\alpha}(\mathbb{R}) \), allora la serie di Fourier converge puntualmente a \(f\) su tutto \( \mathbb{R} \).
ii) Se per ogni \( a \in [-\pi,\pi] \) esistono \(M(a)>0 \) e \( \delta(a) > 0 \) tale che
\[ \left| f(a+t) - f(a+0) \right| + \left| f(a-t) - f(a-0) \right| \leq M t^{\alpha} \]
per ogni \( 0 < t \leq \delta \). Allora
\[ \lim_{N \to \infty} F_Nf(a) = \frac{1}{2} ( f(a+0) + f(a-0) ) \]
dove con \( f(a\pm 0) = \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) \)


Ora la nostra funzione \(f\) soddisfa le ipotesi di ii) poiché è continua a pezzi quindi in particolare dove è continua per ogni \( \epsilon \) esiste \( \delta = \epsilon\) ed \(M=2\) tale che per ogni \( 0 < \left| t \right| \leq \delta \) abbiamo dunque che \( \left| f(a+t)-f(a+0) \right| + \left| f(a-t) - f(a-0) \right| \leq 2 t \leq 2 \epsilon \).
Mentre se prendiamo \(a=0\) abbiamo allora che esiste \( \delta\) tale che per ogni \( 0 < t \leq \delta \) risulta
\[ \left| f(t) \right| \leq \frac{\pi}{2} + \epsilon \]
idem per \( f(-t) \).

e poiché se \( a \in ]-\pi,\pi[\setminus \{0\} \) abbiamo che \( \frac{1}{2} ( f(a+0) + f(a-0) ) = f(a) \) poiché la funzione è continua. Mentre appunto \( f(0^+) + f(0^-) = 0 \) abbiamo che appunto converge puntualmente.

Ma la mia domanda è questa:
È vero questo?
Sia una funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(2\pi\) periodica e \( L^1(-\pi,\pi) \), e \( \Omega \subset \mathbb{R}\) ed \( f \in \mathcal{C}^{0,\alpha}(\Omega) \) allora la serie di Fourier converge puntualmente a \(f\) su tutto \( \Omega \)?

Sostanzialmente mi chiedo. La mia argomentazione è valida? Posso splittare \( ]-\pi,\pi[ \) in \( ]-\pi,0[ \), \( \{0\} \) e \( ]0,\pi[\) e applicare il punto i) sugli intervalli \( ]-\pi,0[ \) e \( ]0,\pi[\) e verificare alla mano che \( Ff(0)=f(0) \), o più generalmente, posso usare i) su \( \Omega \) e verificare alla mano che per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus \Omega \) abbiamo \( Ff(x)=f(x) \)?
Inoltre posso concludere che direttamente che se \( \mathbb{R} \setminus \Omega \) è un insieme di misura nulla, abbiamo che è composto da punti isolati in \( \mathbb{R} \) e se \(f \) è Holder continua su \( \Omega \) allora \(Ff(x) = f(x) \) quasi ovunque?
Inoltre è vero che se la funzione è \( C^1 (\Omega)\) (a pezzi), \(2\pi\) periodica, e dove \( \mathbb{R} \setminus \Omega \) è un insieme di misura nulla, allora ii) è sempre verificato? E dunque \(Ff(x)=f(x) \) ovunque?

[dissonance]

Beh quella funzione proprio Lipschitz non è. È vero che la restrizione a \([-\pi, -a]\cup [a, \pi]\) è Lipschitz per ogni \(a>0\), ma in generale le serie di Fourier non vanno tanto d’accordo con restrizioni puntuali. Detto altrimenti, non mi sembra ovvio che se una funzione è Lipschitz su un intervallo, ed è una porcheria altrove, allora la serie di Fourier converge su quell’intervallo. Magari sarà anche vero, ma non è ovvio.

Infatti, la ridotta \(N\)-esima della serie di Fourier di \(f\) è data da
\[
S_Nf(x)=C\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\tfrac12)(x-y))}{\sin((x-y)/2)}f(y)\, dy.\]
Qui \(C\) è qualche costante che non ricordo, ma che non è importante. La cosa importante è che questo operatore dipende da \(f\) su TUTTO l’intervallo, e non è ovvio che se \(f\) è regolare solo su un intervallino allora esso convergerà ad \(f\) su quell’intervallino.