Convergenza normale di serie di funzioni olomorfe

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Sia \( (f_n)_{n\geq 0} \) una successione di funzioni olomorfe, per ogni \( n \), \( f_n : U \to \mathbb{C} \) e per ogni compatto \( K \subset U \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n\geq0} \sup_{z \in K} \left| f_n(z) \right| < + \infty \]
Dimostra che allora
\[ \sum_{n\geq0 } f_n(z) \]
converge normalmente verso una funzione olomorfa.
Vi sembra funzionare?
Poniamo \( S_N := \sum\limits_{n =0}^{N} f_n \) abbiamo che \( ( S_N)_{N \geq0 } \) è una successione di funzioni olomorfe, per di più \( (S_N)_{N \geq 0} \) converge uniformemente su tutti i compatti poiché \( \sum\limits_{n>geq0} \sup_{z \in K} \left| f_n(z) \right| \) converge su tutti i compatti
Pertanto abbiamo che
\( S_N : U \to \mathbb{C} \) converge uniformemente ad una funzione continua \(S\) pertanto preso \( z \in K \subset U \) dove \(K \) è compatto e preso \( \epsilon > 0 \) tale che \( D(z,\epsilon) \subset K \) e per ogni cammino \( \gamma \subset D(z,\epsilon)\) omotopo a \( \partial D(z,\epsilon) \) abbiamo per il teorema di Morera che
\[ \oint_{\gamma} S_N(\xi) d\xi = 0 \]
ma poiché \(S_N \) converge uniformemente segue che
\[ 0=\lim_{N \to \infty} \oint_{\gamma} S_N(\xi) d\xi = \oint_{\gamma}\lim_{N \to \infty} S_N(\xi) d\xi = \oint_{\gamma}S(\xi) d\xi=0 \]
pertanto \( S \) è olomorfa su tutti i compatti e abbiamo che
\[ \sum_{n\geq0 } f_n(z) \]
converge normalmente verso una funzione olomorfa.

[dissonance]

Non ho seguito bene i dettagli, ma il teorema di Morera è sicuramente quello giusto, e mi sembra tu lo abbia applicato correttamente.