Convergenza di distribuzioni
Salve a tutti!
Come da titolo ho da proporvi un esercizio riguardo alla distribuzione regolare Tn a cui è associata una fn definita come:
$Fn={(3/4*n*(1-n^2*x^2),if -1/n
$\int_{-1/n}^{1/n} 3/4n*varphi dx$ + $\int_{-1/n}^{1/n} -3/4n^3*x^2*varphi dx$.
Mi è stato insegnato che per calcolare il primo pezzo c'è bisogno di applicare il teorema della media integrale, così da trovare una convergenza del primo integrale a 3/2 moltiplicato la delta di dirac calcolata in 0 (ometto la dimostrazione, ma chi deve capire ha capito), il problema è che non so come valutare il secondo pezzo con la x^2. Quello che sono riuscito a capire è che converge alla delta in zero (è l'area di parabola capovolta che si stringe sempre più e si "alza" verso inf), che difatto non convergerebbe in R come successione di funzioni ma che In D'(R) lo fa bene, da quel che mi hanno spiegato perchè l'area di quella parabola cresce abbastanza lentamente da assicurarne la convergenza. Il problema è che non capisco a valutare formalmente il risultato ( a rigor di logica, dovrebbe essere uguale a una cosa tipo -1/2 la delta di dirac in zero il secondo pezzo). So per certo l'intervallo di appartenenza della mia x (quello degli estremi di integrazione) ma non saprei come procedere. Per parti non sono arrivati a nulla di corretto. Qualcuno sa darmi qualche buona delucidazione?
Ringrazio in anticipo!
Come da titolo ho da proporvi un esercizio riguardo alla distribuzione regolare Tn a cui è associata una fn definita come:
$Fn={(3/4*n*(1-n^2*x^2),if -1/n
$\int_{-1/n}^{1/n} 3/4n*varphi dx$ + $\int_{-1/n}^{1/n} -3/4n^3*x^2*varphi dx$.
Mi è stato insegnato che per calcolare il primo pezzo c'è bisogno di applicare il teorema della media integrale, così da trovare una convergenza del primo integrale a 3/2 moltiplicato la delta di dirac calcolata in 0 (ometto la dimostrazione, ma chi deve capire ha capito), il problema è che non so come valutare il secondo pezzo con la x^2. Quello che sono riuscito a capire è che converge alla delta in zero (è l'area di parabola capovolta che si stringe sempre più e si "alza" verso inf), che difatto non convergerebbe in R come successione di funzioni ma che In D'(R) lo fa bene, da quel che mi hanno spiegato perchè l'area di quella parabola cresce abbastanza lentamente da assicurarne la convergenza. Il problema è che non capisco a valutare formalmente il risultato ( a rigor di logica, dovrebbe essere uguale a una cosa tipo -1/2 la delta di dirac in zero il secondo pezzo). So per certo l'intervallo di appartenenza della mia x (quello degli estremi di integrazione) ma non saprei come procedere. Per parti non sono arrivati a nulla di corretto. Qualcuno sa darmi qualche buona delucidazione?
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Secondo me si può fare così:
$$\int_{-1/n}^{1/n} -\frac{3}{4}n^3x^2 \phi dx = -\frac{3}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^2 \phi(x) dx = -\frac{3}{4}n^3 \Biggl[ \frac{x^3}{3}\phi(x) \Biggr |_{-1/n}^{1/n} - \int_{-1/n}^{1/n} \frac{x^3}{3} \phi'(x)dx \Biggr ] = -\frac{1}{4} \Biggl (\phi(1/n)+\phi(-1/n)\Biggr)+ \frac{1}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^3 \phi'(x)dx $$
Il primo pezzo che fa?
Il secondo?
Hint:
$$\int_{-1/n}^{1/n} -\frac{3}{4}n^3x^2 \phi dx = -\frac{3}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^2 \phi(x) dx = -\frac{3}{4}n^3 \Biggl[ \frac{x^3}{3}\phi(x) \Biggr |_{-1/n}^{1/n} - \int_{-1/n}^{1/n} \frac{x^3}{3} \phi'(x)dx \Biggr ] = -\frac{1}{4} \Biggl (\phi(1/n)+\phi(-1/n)\Biggr)+ \frac{1}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^3 \phi'(x)dx $$
Il primo pezzo che fa?
Il secondo?
Hint:
Ti ringrazio per l'ottima risposta, sono arrivato ad un risultato identico ma poi mi sono proprio piantato lì (pensando fosse errato). Purtroppo non sono pratico di dimostrazioni del genere, sono nuovo nel mondo delle distribuzioni, posso solo dire che se l'integranda fosse dispari non avrei avuto problemi a darti la risposta... ma non lo so a priori e in generale non vale per ogni funzione test. Posso provare ad applicare la proprietà della derivata distribuzionale ma ovviamente tornerei al punto di partenza... credo ci sia qualche considerazione importante che mi sfugge! Non esco nè dal supporto della test e nemmeno è il caso di una delta calcolata in un infinito... questi sono gli unici casi che ho incontrato fino ad ora... ma la x è sempre in quell'intervallo e in particolare per n che tende a inf si riduce al punto 0... è un pò come trovarmi al punto di partenza per me! C'è qualche considerazione importante da fare? So che non posso ragionare con la convergenza di successione di funzioni. Ti ringrazio ancora comunque!
Dunque per il primo pezzo abbiamo che, essendo $\phi$ una funzione continua, se si ha una successione $x_n \to x$ allora $\phi(x_n) \to \phi(x)$ e dunque:
$$-\frac{1}{4} (\phi(1/n)+\phi(-1/n)) \to -\frac{1}{2}\phi(0)$$
Per il secondo pezzo è sufficiente osservare che se $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ allora anche $\phi' \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ e dunque $ \phi' \in \mathcal{L}^{\infty}(\mathbb{R})$ ovvero esiste una costante $M \ge 0$ tale per cui $|\phi'(x)| \le M \forall x \in \mathbb{R}$; dunque vale:
$$\Biggl | \frac{1}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^3 \phi'(x)dx \Biggr | \le \frac{1}{4}n^3\int_{-1/n}^{1/n} \biggl | x^3 \phi'(x) \biggr |dx \le \frac{1}{4}n^3M \int_{-1/n}^{1/n} |x^3|dx \le \frac{1}{4}n^3 M \frac{2}{n} \underset{({x \in (-1/n; 1/n)}}{\text{sup }}x^3 = \frac{1}{4}n^3 M \frac{2}{n} \frac{1}{n^3} = \frac{M}{2} \frac{1}{n} \overset{ n \to \infty}{\longrightarrow 0} $$
In definitiva dunque:
$$\lim_{n \to \infty} = \frac{3}{2}\phi(0) -\frac{1}{2}\phi(0) + 0 = \phi(0) = <\delta_0 , \phi>$$
ovvero
$$f_n \overset{ \mathcal{D'(\mathbb{R})}}{\to} \delta_0 $$
Spero sia chiaro!
$$-\frac{1}{4} (\phi(1/n)+\phi(-1/n)) \to -\frac{1}{2}\phi(0)$$
Per il secondo pezzo è sufficiente osservare che se $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ allora anche $\phi' \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ e dunque $ \phi' \in \mathcal{L}^{\infty}(\mathbb{R})$ ovvero esiste una costante $M \ge 0$ tale per cui $|\phi'(x)| \le M \forall x \in \mathbb{R}$; dunque vale:
$$\Biggl | \frac{1}{4}n^3 \int_{-1/n}^{1/n} x^3 \phi'(x)dx \Biggr | \le \frac{1}{4}n^3\int_{-1/n}^{1/n} \biggl | x^3 \phi'(x) \biggr |dx \le \frac{1}{4}n^3M \int_{-1/n}^{1/n} |x^3|dx \le \frac{1}{4}n^3 M \frac{2}{n} \underset{({x \in (-1/n; 1/n)}}{\text{sup }}x^3 = \frac{1}{4}n^3 M \frac{2}{n} \frac{1}{n^3} = \frac{M}{2} \frac{1}{n} \overset{ n \to \infty}{\longrightarrow 0} $$
In definitiva dunque:
$$\lim_{n \to \infty}
ovvero
$$f_n \overset{ \mathcal{D'(\mathbb{R})}}{\to} \delta_0 $$
Spero sia chiaro!
Tutto chiarissimo! L'ultimo passaggio quando passi al modulo è quel che mi mancava, poi maggiori l'integrale del modulo di x^3 con qualcosa, ora non ricordo bene il teorema di analisi 1, ma si poteva maggiorare l'integrale con il valore max della funzione calcolato nell'intervallo (poichè polinomio continuo e in questo caso crescente, il sup si trova a 1/n estremo destro) per l'ampiezza dell'intervallo di integrazione?
Esatto: un integrale su un intervallo è minore o uguale dell'ampiezza dell'intervallo per il sup dell'integranda sull'intervallo!
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