Convergenza della serie di Fourier.

[Studente Anonimo]

Sia \( f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \) \(T\)-periodica e \( g \in L^1(0,T) \).
Dimostra che
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{T} f(kx) g(x) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx \int_{0}^{T} g(x) dx \]

Io ho pensato di fare così, ma non so se se è corretto, anche perché le correzioni dicono una cosa differente.

Per alleggerire la notazione supponiamo \( T= 2\pi \).

Se \(g = 0 \) quasi ovunque il risultato è banalmente vero, supponiamo dunque che non sia il caso e abbiamo pertanto \( 0< \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1} < \infty \).
Siccome \(f \in \mathcal{C}^1 \) allora in particolare \( f \in \mathcal{C}^{0,\alpha} \) con \( 1/2 \leq \alpha \leq 1 \) allora abbiamo per il Teorema di Bernstein che \(F_Nf \) converge uniformenete a \(f\). Pertanto, per ogni \( \epsilon \) esiste \(N\) sufficientemente grande tale
\[ \left| F_Nf(y) - f(y) \right| \leq \epsilon \]
In particolare per ogni \( k\), è vero anche per \( y= kx \).
Dunque per ogni \(x \in \mathbb{R}\), dunque possiamo scrivere \[ f(xk) = \lim_{N\to \infty} F_Nf(xk) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos( nxk) + b_n \sin(nxk) \]

Dunque per ogni \( \epsilon \) abbiamo che esiste \(N\) sufficientemente grande tale che \( \left| F_Nf(y) - f(y) \right| \leq \frac{\epsilon}{\begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1}} \)

\[\lim_{k\to \infty} \int_{0}^{2\pi} f(kx) g(x) dx = \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \left(f(kx)-F_N(kx) + F_N(kx) \right) g(x)dx \]
\[= \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \left(f(kx)-F_N(kx) \right)g(x)dx +\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} F_N(kx) g(x)dx \]


\[ \int_{0}^{2\pi}\left| \left(f(kx)-F_N(kx) \right)g(x) \right|dx = \frac{\epsilon}{\begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1}} \int_{0}^{2\pi}\left| g(x) \right| = \frac{\epsilon}{\begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1}} \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1} \leq \epsilon \]
poiché \( \epsilon \) è arbitrario e \( g \in L^1\) e dunque \( \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{L^1} < \infty \). Notiamo che il passaggio al limitie con \(k \to \infty \) non cambia il risultato, poiché l'ultimo termine è indipendente da \(k\)

Stimiamo ora l'altro integrale
\[\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \frac{a_0}{2}g(x)dx + \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{N} a_n \cos(nxk)g(x)dx + \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{N} b_n \sin(nxk)g(x)dx \]
\[ = \int_{0}^{2\pi} \frac{a_0}{2}g(x)dx + \sum_{n=1}^{N} a_n \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \cos(nxk)g(x)dx + \sum_{n=1}^{N} b_n \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \sin(nxk)g(x)dx \]
Per il Lemma di Riemann-Lebesgue abbiamo che
\[\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \cos(nxk)g(x)dx = \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \sin(nxk)g(x)dx = 0 \]
Poiché \(g \in L^1\).
Dunque concludiamo che
\[ \lim_{k\to \infty} \int_{0}^{2\pi} f(kx) g(x) dx = \frac{a_0}{2} \int_{0}^{2\pi} g(x)dx= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)dx \int_{0}^{2\pi} g(x)dx \]

Domandina:

Con queste ipotesi è leggittimo scrivere, \[ \int_{0}^{T} f(x)dx= \int_{0}^{T}\lim_{N\to \infty} F_Nf(x)dx \]
e dunque
\[ \int_{0}^{T} f(xk)g(x)dx= \int_{0}^{T}\lim_{N\to \infty} F_Nf(xk)g(x)dx \]
Fin qui è corretto?
Però non posso fare questo passaggio:
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \cos(nxk)g(x)dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} a_n \cos(nxk)g(x)dx \]
Ma non posso dimostrarlo direttamente così per quale motivo?
1) Non posso scambiare il limite in \(N\) con l'integrale nell'espressione sotto?
2) Non posso scambiare la sommatoria e l'integrale nell'espression sotto?
3) Sia 1) che 2)?
4) Non posso scambiare i limiti in \(N\) e in \(k\)?
... insomma quale permutazione è illegale?

[fu^2]

Per rispondere alla tua domanda mi sembra che nel tuo procedimento inverti prima un integrale con una serie e poi il limite su $k$ con la serie, queste due inversioni vanno dimostrate.

[dissonance]

Io penso che il tuo procedimento sia corretto, come dici si tratta solo di giustificare tutti i tecnicismi legati allo scambio di integrale e serie. Ma il punto chiave del tuo procedimento è dimostrare che
\[
\lim_{k\to \infty} \int_0^{2\pi} f(kx)g(x)\, dx = \int_0^{2\pi} f(x)\, dx \int_0^{2\pi} g(x)\, dx\]
per \(f(x)=\cos(nx)\) o \(f(x)=\sin(nx)\). Ora, dimostrare questo fatto per seni e coseni non mi sembra meno difficile che dimostrarlo direttamente per una funzione \(2\pi\)-periodica, e facendo così si evita di dover discutere tecnicismi legati alla convergenza. Immagino sia questo l'approccio delle correzioni.

Comunque, da un punto di vista concettuale preferisco il tuo approccio. Le serie di Fourier servono proprio a ridurre problemi generali a problemi su seni e coseni, come hai fatto tu.