Convergenza debole per una sottosuccessione
é vero che ogni successione limitata di uno spazio di Hilbert separabile contiene una sotto successione che converge debolmente? io direi di si perché per il teorema di Banach-Alaoglu posso dire di avere una sotto successione debolmente * convergente, siccome uno spazio di Hilbert è riflessivo ho inoltre che la convergenza debole * implica la convergenza debole.
Risposte
Sono parecchio arrugginito e a prima vista non saprei nei tuoi passaggi come ottenere la successione nello spazio di Hilbert originale dalla successione nello spazio duale.
Analogamente la topologia debole * e la topologia debole dello spazio duale allo spazio di Hilbert sono equivalenti.
Come sarebbe definita la topologia debole * sullo spazio di Hilbert originale?
Sulla proposizione invece posso garantirti e se vuoi dimostrarti (anche se sicuramente troverai riferimenti anche in letteratura) che vale
Analogamente la topologia debole * e la topologia debole dello spazio duale allo spazio di Hilbert sono equivalenti.
Come sarebbe definita la topologia debole * sullo spazio di Hilbert originale?
Sulla proposizione invece posso garantirti e se vuoi dimostrarti (anche se sicuramente troverai riferimenti anche in letteratura) che vale
Sia $X$ spazio normato riflessivo. Allora ogni successione limitata in $X$ ha un'estratta (sotto-successione) debolmente convergente
Riguardando i miei appunti ho trovato anche io quella proposizione:
quindi ho risolto. Ho comunque un dubbio nella dimostrazione.
$ X $ separabile e riflessivo implica $ X^ast $(duale di $X$) separabile, quindi possiamo applicare il teorema di Banach Alaoglu a $ {\tau(x_n)}_{n\in\mathbbN}\subsetX^{\ast\ast} $ trovando quindi $ {\tau(x_{n_h})}_{h\in\mathbbN} $ tale che \( \tau(x_{n_h})\overset{\ast}{\rightharpoonup} \Lambda \) per \( h\to\infty \), \( \Lambda\in X^{\ast\ast} \). Siccome \( X \) è riflessivo, abbiamo che \( x=\tau^{-1}(\Lambda) \) e \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \) per \( h\to\infty \).
Quando dico
sarebbe più corretto dire
Se $ X $ è separabile e riflessivo allora ogni successione limitata $ {x_n}_{n\in\mathbbN}\subsetX $ contiene una sottosuccessione debolmente convergente in $ X $.
quindi ho risolto. Ho comunque un dubbio nella dimostrazione.
$ X $ separabile e riflessivo implica $ X^ast $(duale di $X$) separabile, quindi possiamo applicare il teorema di Banach Alaoglu a $ {\tau(x_n)}_{n\in\mathbbN}\subsetX^{\ast\ast} $ trovando quindi $ {\tau(x_{n_h})}_{h\in\mathbbN} $ tale che \( \tau(x_{n_h})\overset{\ast}{\rightharpoonup} \Lambda \) per \( h\to\infty \), \( \Lambda\in X^{\ast\ast} \). Siccome \( X \) è riflessivo, abbiamo che \( x=\tau^{-1}(\Lambda) \) e \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \) per \( h\to\infty \).
Quando dico
Siccome \( X \) è riflessivo, abbiamo che \( x=\tau^{-1}(\Lambda) \) e \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \) per \( h\to\infty \)
sarebbe più corretto dire
Siccome \( X \) è riflessivo, abbiamo che \( x=\tau^{-1}(\Lambda) \) e \( x_{n_h}\overset{\ast}{\rightharpoonup}x \) per \( h\to\infty \), ma dal momento che $X$ è riflessivo, allora \( x_{n_h}\overset{\ast}{\rightharpoonup}x \) implica \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \) per $h \to \infty$?
I fatti rilevanti che utilizziamo dopo il Teorema di Banach-Alaoglu mi sembra che siano i seguenti:
1)la riflessività di $X$ ci dice che c'è un isomorfismo isometrico tra $X$ e il biduale $X^{\ast\ast}$.
2)la riflessvità di $X^*$ ci garantisce che a topologia debole* e la topologia debole sul biduale $X^{\ast\ast}$ siano equivalenti.
Detto questo le due scritture tue, a mio avviso, sono equivalenti.
Io forse scriverei ancora in un'altro modo come ordine logico, cioè che \( \tau(x_{n_h})\overset{\ast}{\rightharpoonup} \Lambda \) implica \( \tau(x_{n_h}){\rightharpoonup} \Lambda \) che implica \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \).
Sinceramente, sempre a mio avviso, mi sentirei di dire che in fin dei conti si dice sempre la stessa cosa.
1)la riflessività di $X$ ci dice che c'è un isomorfismo isometrico tra $X$ e il biduale $X^{\ast\ast}$.
2)la riflessvità di $X^*$ ci garantisce che a topologia debole* e la topologia debole sul biduale $X^{\ast\ast}$ siano equivalenti.
Detto questo le due scritture tue, a mio avviso, sono equivalenti.
Io forse scriverei ancora in un'altro modo come ordine logico, cioè che \( \tau(x_{n_h})\overset{\ast}{\rightharpoonup} \Lambda \) implica \( \tau(x_{n_h}){\rightharpoonup} \Lambda \) che implica \( x_{n_h}{\rightharpoonup}x \).
Sinceramente, sempre a mio avviso, mi sentirei di dire che in fin dei conti si dice sempre la stessa cosa.
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