Convergenza debole* e push forward di misure

[Bremen000]

Ho trovato la seguente

Proposizione
Sia $$\mu := \mathcal{L}^1 \big|_{[0,1]} $$
e $10} \subset L^p(\mathbb{R}, \mu) \) dove $f_h(x)=f(hx)$ con
$$ f(x) := \begin{cases} 1 \quad & \text{ if } \quad 0 \le \{x\} < \frac{1}{2} \\ -1 \quad &\text{ if } \quad \frac{1}{2} \le \{x\} < 1 \end{cases}$$
dove $\{x\}$ è la parte frazionaria di $x$. Sia $\nu:= \frac{1}{2} ( \delta_1 + \delta_{-1})$. Allora

1. Per ogni $h>0$ vale
$$ ((f_h)_{\#}) (\mu) = \nu $$
2. \( f_h \overset{\ast}{\rightharpoonup} 0 \) quando $h \to 0$

dove $((f_h)_{\#}) (\mu)(B) = \mu ( f_h^{-1}(B))$ per ogni boreliano $B$.

Sono abbastanza convinto che sia sbagliata e che debba essere $h>1$ e $h \to + \infty$ (rispettivamente in 1 e in 2). Infatti

1. $ ((f_h)_{\#}) (\mu) = \nu \Leftrightarrow \mu ( f_h^{-1}((a,b))= \nu((a,b))$ per ogni $-\infty< a $$\nu((a,b))= \frac{1}{2} $$
e
$$ \mu (f_{1/2}^{-1}((a,b))) = \mu (\{ x \in [0,1] \mid f_{1/2}(x) = 1 \}) = \mu ( \{x \in [0,1] \mid 0 \le \{ \frac{1}{2} x \} < 1/2 \} ) = 1$$
D'altro canto, se $h>1$ sono abbastanza convinto che sia vera (se richiesto metto i dettagli).

2. Se $h < 1/2$ e $\varphi \in L^q(\mathbb{R}, \mu)$ con $1/p + 1/q =1$, allora

$$ \int_{\mathbb{R}} f_h \varphi d \mu = \int_{ \{ x \in [0,1] \mid 0 \le \{ hx \} < 1/2 \} } \varphi d \mathcal{L}^1 = \int_{[0,1]} \varphi d \mathcal{L}^1 = \int_{[0,1]} \varphi d \mu $$
e quindi si ha che \( f_h \overset{\ast}{\rightharpoonup} 1 \) quando $h \to 0$. Penso di poter dimostrare che, se $h \to + \infty$ allora l'insieme ove $f_h=1$ diventa unione di intervalli disgiunti sempre più piccoli di lunghezza totale pari a $1/2$. La stessa cosa per l'insieme dove $f_h=-1$. Anche se è vero non sono sicuro di come dimostrarlo. Ho buttato giù qualcosa ma ho bisogno di aiuto: prendo prima \( \varphi \in C^{\infty} ((0,1)) \) e considero solo $h$ intero potenza di $2$. Per ogni $h$ di questo tipo l'intervallo viene diviso in sottointervalli del tipo
\[ [0, \frac{1}{2h}] \cup [ \frac{2}{2h}, \frac{3}{2h}] \cup \dots \cup [ \frac{2h-2}{2h}, \frac{2h-1}{2h} ]= \bigcup_{i=0}^{2h-1} A_{i,h} \]
ove $f_h$ vale $1$ e $-1$ sul complementare
\[ [\frac{1}{2h}, \frac{2}{2h}] \cup [ \frac{3}{2h}, \frac{4}{2h}] \cup \dots \cup [ \frac{2h-1}{2h}, \frac{2h}{2h} ]= \bigcup_{i=0}^{2h-1} B_{i,h} \]
L'idea era considerare $C_{i,h}:= A_{i,h} \cup B_{i,h}$; chiaramente $\bigcup_{i=1}^{h} C_{i,h} = [0,1] $ e

\[ \int_{\mathbb{R}} f_h \varphi d \mu = \sum_{i=0}^{h} \int_{C_{i,h}} f_h \varphi d \mu = \sum_{i=0}^{h} \biggl ( \int_{\frac{2i}{2h}}^{\frac{2i+1}{2h}} \varphi d\mathcal{L}^1 - \int_{\frac{2i+1}{2h}}^{\frac{2i+2}{2h}} \varphi d \mathcal{L}^1 \biggr ) \]

Ora il termine generale della serie va a $0$ ma mica basta, non saprei proprio come stimare l'ordine con cui ci va.
Sviluppo $\varphi$ con Taylor?
Idee?

[Bremen000]

Ok, ho rifatto un po' i conti e penso di poter fare qualcosa di meglio:

Sia \( \varphi \in C^{\infty}_c((0,1)) \) e sia $ h \in \mathbb{N}$, $h \ge 1,$ allora

\[ \{ x \in [0,1] \mid 0 \le \{ hx \} \le 0.5 \} = [0, \frac{1}{2h} ] \cup [\frac{2}{2h}, \frac{3}{2h} ] \cup \dots \cup [ \frac{2(h-1)}{2h}, \frac{2h-1}{2h}] =: \bigcup_{i=0}^{h-1} [\alpha_i, \beta_i] = \bigcup_{i=0}^{h-1} A_{i,h} \]

\[ \{ x \in [0,1] \mid 0.5 \le \{ hx \} <1 \} = [\frac{1}{2h}, \frac{2}{2h} ] \cup [\frac{3}{2h}, \frac{4}{2h} ] \cup \dots \cup [\frac{2h-1}{2h}, 1] = \bigcup_{i=0}^{h-1} [\beta_i, \alpha_{i+1}] =: \bigcup_{i=0}^{h-1} B_{i,h} \]
ove $ \alpha_{h}=1$.


Allora

\[ \int_{\mathbb{R}} f_h \varphi = \int_{ \{ x \in [0,1] \mid 0 \le \{ hx \} \le 0.5 \} } \varphi d\mathcal{L}^1- \int_{ \{ x \in [0,1] \mid 0.5 \le \{ hx \} <1 \}} \varphi d\mathcal{L}^1 = \sum_{i=0}^{h-1} \biggl ( \int_{A_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 - \int_{B_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 \biggr ) \]


Provo a stimare ogni addendo della sommatoria scritta sopra per ogni \( i=0, \dots, h-1\):

\[ \int_{A_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 = \int_{\alpha_i}^{\beta_i} \varphi(x) dx = \int_{0}^{\beta_i-\alpha_i} \phi(\beta_i-t)dt = \int_{0}^{\frac{1}{2h}} \biggl ( \varphi(\beta_i) -t \varphi'(\beta_i) + o(t) \biggr ) dt = \frac{1}{2h} \varphi(\beta_i) - \varphi'(\beta_i) \frac{1}{4h^2} + \int_0^{\frac{1}{2h}} o(t)dt \]

\[ \int_{B_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 = \int_{\beta_i}^{\alpha_{i+1}} \varphi(x) dx = \int_0^{\alpha_{i+1}-\beta_i} \varphi(\beta_i+t)dt =\int_{0}^{\frac{1}{2h}} \biggl ( \varphi(\beta_i) +t \varphi'(\beta_i) + o(t) \biggr ) dt = \frac{1}{2h} \varphi(\beta_i) + \varphi'(\beta_i) \frac{1}{4h^2} + \int_0^{\frac{1}{2h}} o(t)dt \]

Da cui per ogni \( i=0, \dots, h-1 \):

\[ \int_{A_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 - \int_{B_{i,h}} \varphi d \mathcal{L}^1 = -\frac{1}{2h^2}\varphi'(\beta_i) + \int_0^{\frac{1}{2h}} o(t) dt \]

Per $h$ sufficientemente grande
\[ \int_0^{\frac{1}{2h}} o(t) dt < \frac{1}{4h^2} \]

Quindi, per $h$ sufficientemente grande

\[ \biggl | \int_{\mathbb{R}} f_h \varphi \biggr | < \sum_{i=0}^{h-1} \biggl ( \frac{1}{2h^2} |\varphi'(\beta_i)| + \frac{1}{4h^2} \biggr ) \le \frac{h}{2h^2} \| \varphi'\|_{\infty} + \frac{h}{4h^2} = \frac{ \| \varphi \|_{\infty}}{2h} + \frac{1}{4h} \to 0\]

So che sono una marea di contazzi, ma non saprei come fare altrimenti. E mi servirebbe davvero un controllo...
Grazie in anticipo a chi avesse voglia-tempo!

Edit: risistemato con $h$ intero!

[Bremen000]

Risolto, sono un po' scemo. Bastava usare il cambio di variabili e si vede in un attimo che $f_h$ tende forte a $0$ in $L^p$. La struttura di $f$ era così complicata solo per soddisfare la prima richiesta. Mannaggia.