Conv. Puntuale di questa serie di Fourier?

[Omi1]

Salve sto iniziando a studiare le serie di Fourier e già sono iniziati a sorgermi i primi dubbi, in particolare sulla conv. puntuale.
L'esercizio è, Prolungare per periodicità la seguente funzione:

$ f={ ( x \ \ \ \ se \ \ \ -pi
Dal disegno ottengo una serie di rette y=x e dei salti in tutti gli estremi della funzione periodica.
Quello che non capisco però è appunto come calcola i limiti per la conv. puntuale.
Prima di tutto vede se il segnale è regolarizzato e quindi calcola :

$ f(pi^-)=lim_(x -> pi^-) x=pi $ e poi $ f(pi^+)=lim_(x -> pi^+) x=-pi $

E qui già sorge il primo dubbio e cioè, lui per conoscere i valori di quei limiti in particolare $ f(pi^+) $ ha guardato il disegno, quindi guardare il disegno è l'unico modo per calcolare quel limite?

Secondo dubbio che ho è che quando calcola i limiti per le derivate ottiene:

-$ df/dx(pi^-)=lim_(x -> pi^-) (f(x)-f(pi^-))/(x-pi)=1 $

-$ df/dx(pi^+)=lim_(x -> pi^+) (f(x)-f(pi^+))/(x-pi)=1 $

E qui non mi trovo, come fa a fare 1 per entrambi? In particolare nel secondo non ottengo
$ ((-pi)+pi)/((pi^+)-pi) $ ?? Come fa a trovarsi uno?

[marco2132k]

"Omi":E qui già sorge il primo dubbio e cioè, lui per conoscere i valori di quei limiti in particolare f(π+) ha guardato il disegno, quindi guardare il disegno è l'unico modo per calcolare quel limite?

Dal disegno deduci che cosa devono essere quei limiti, poi imposti un argomento \( \epsilon \)-\( \delta \) se vuoi essere più precis, no?

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi":
$ x(t)={ ( x \ \ \ \ se \ \ \ -pi

Prima di tutto scegli una notazione e poi mantienila...
Nel caso specifico mi pare più opportuno usare $y = f(x) $, che in effetti hai usato anche in seguito quindi:

$ y = f(x) ={ ( x \text{ se } -\pi
Poi si ha:

$ f(\pi^-) := \lim_(x \to \pi^-) x = \pi $
$ f(\pi^+):=lim_(x \to \pi^+) x =-\pi $

Nei punti di discontinuità la serie di Fourier converge alla semisomma dei due limiti destro e sinistro, quindi proprio a $0$ nel caso specifico, infatti si ha:

$ (f(pi^+) + f(\pi^-))/2 = 0 $

"Omi":E qui non mi trovo, come fa a fare 1 per entrambi?

A parte il fatto che hai sbagliato le scritture ancora una volta, non capisco perché ti sorprendi: la pendenza della retta $y = f(x) = x $ è comunque $1$, indipendentemente dal fatto che $x$ tenda a $\pi$ da sinistra o da destra...

[Omi1]

Allora innanzitutto perdonatemi per le scritture, andavo abbastanza di corsa e non ho visto gli errori ed ho subtio corretto. Poi come sempre ringrazio pillo per avermi chiarito un po la situazione. Però se volessi andare a calcolare quei limiti di derivate come dovrei procedere? Infatti per il secondo sostituendo i valori di $ f(pi^+) = - pi$ otterrei :

$ (-(pi)+pi)/((pi^+)-pi $ che farebbe $ 0/0^+ $


Inoltre, nel caso non conoscessi il disegno, ci sarebbe un modo per capire quanto valgono $ f(pi^+) $ ed $ f(pi^-) $?

[pilloeffe]

Beh, molto banalmente, sarai d'accordo che $\AA q \in \RR $ si ha $D[x + q] = 1 $: non ha alcuna importanza se calcoli il limite per $x \to \pi^{\pm} $, il risultato della derivata (pendenza della retta) sarà comunque $1$...

[Omi1]

Ok. In quest'altro esercizio invece come dovrei fare?

$ f={ ( x^4\ \ se\ \ -pi
Senza conoscere il disegno della funzione $ x^4 $ dice che i limiti $lim_(x -> pi^(+-)) f(x^(+-))=pi^4$ e qui posso anche capirlo, perchè non ci sono salti e visto che le due funzioni sono attaccate grazie alla periodicità, in quel punto la funzione è continua e quindi il limite destro e sinistro è lo stesso. Ma ancora una volta trovo difficoltà nei limiti delle derivate. Infatti dice:

$ df/dx(pi^-)=lim_(x -> pi^-) (f(x)-f(pi^-))/(x-pi)=(pi^(4+)-pi^4)/(pi^(-)-pi)=0/0^- $ , stessa cosa per il secondo limite, mentre l'esempio porta che deve uscire

- $ df/dx(pi^-)=4(pi^3) $
- $ df/dx(pi^+)=-4(pi^3) $

[feddy]

@Omi
In questo caso dal disegno si dovrebbe subito vedere cosa fanno le derivate. Quando incolli due funzioni imponendo solo la continuità, come nell'ultimo esempio, nessuno ti garantisce che si attacchino in modo liscio, e di fatti la derivata lì salta. Peggio ancora è la situazione nel primo esempio.

Magari scrivere $\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}$ ti risulta più semplice da calcolare o capire.

[Omi1]

"feddy":@Omi
In questo caso dal disegno si dovrebbe subito vedere cosa fanno le derivate. Quando incolli due funzioni imponendo solo la continuità, come nell'ultimo esempio, nessuno ti garantisce che si attacchino in modo liscio, e di fatti la derivata lì salta. Peggio ancora è la situazione nel primo esempio.

Magari scrivere $\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}$ ti risulta più semplice da calcolare o capire.

Allora ciao feddy e grazie per l'aiuto. Scrivendo l'integrale come mi hai suggerito, effettivamente $ f(pi^-) $ mi trovo. Ma $ f(pi^+) $ invece non riesco a capire come fa a trovarsi quel segno - davanti a $ 4pi^3 $ . Inoltre riguardo al fatto che le funzioni non si attacchino in modo liscio, non lo escludevo già da prima. Volevo solo una conferma se la derivata destra e sinistra della funzione nel punto $ pi $ fosse la stessa, visto che il periodo mi faceva attaccare le funzioni.

[feddy]

Il tuo errore sta nel fatto che consideri la stessa espressione per la funzione di partenza e la sua estensione periodica. Qui hai chiamato $f$ la funzione di partenza, ma in un tuo post precedente hai linkato delle note del poli-to dove $f$ era l'estensione periodica di una funzione di partenza chiamata $g$. Nel mio limite sopra io intendo con $f$ l'estensione della $g$. Il limite sinistro ti funziona perché $x+h$, con $h$ *negativo* cade nel dominio di definizione della funzione di partenza. Ma quando $h$ è *positivo* non puoi considerare l'espressione della $g$, ma quella della sua estensione.

[Omi1]

Ok feddy adesso penso che ci siamo e penso di aver capito dove sbaglio. Ma a questo punto sempre assumendo che il disegno io non lo conosca, come faccio a capire qual'è la funzione da mettere nel limite quando il punto cade nell'intorno positivo?

[feddy]

La funzione lo sai com'è fatta, hai esteso per periodicità. Guarda il disegno dell'estensione periodica. Come può essere positiva la derivata venendo da destra? In questo caso una volta fatti i conti con l'intorno sinistro, non sarebbe necessario farli anche con l'altro. Puoi provare a calcolarla di nuovo [url=http://calvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi%20svolti%20e%20Temi%20d'esame/Esercizi/svol_serie_di_fourier.pdf]come fa il tuo prof qui[/url], non cambia nulla, ma magari ora ti è più chiaro.

[Omi1]

Nono ti ringrazio perchè sicuramente mi è più chiaro, però la derivata fa così sempre perchè conosciamo il disegno e sono d'accordo... ma nel caso non conoscessimo il disegno non sapremmo se in quel punto la derivata cresce o decresce.. Cioè nel limite che funzione dovremmo scrivere nell'intorno destro?

[Omi1]

Allora, oggi ragionando sull'esercizio e grazie ai consigli del gentile pillo e di feddy, mi sono accorto che la funzione dove ricade il punto $ pi^+ $ non è altro che la funzione $ f(x)=x^4 $ traslata verso destra di $ 2pi $ , quindi $ f(x)=(x-2pi)^4 $ .

Calcolando quindi, il limite del rapporto incrementale di questa funzione ottengo :

$ lim_(h -> 0^+) (f(x+h)-f(x))/(h)=lim_(x -> -pi^+) (f(x+2pi)-f(-pi))/(x+pi) = -4pi^3$

E quindi senza conoscere il disegno della funzione mi troverei con il risultato degli appunti.
A questo punto se qualcuno mi potesse confermare che il ragionamento è corretto, gliene sarei grato.

[anonymous_0b37e9]

"Omi":
... se qualcuno mi potesse confermare che il ragionamento è corretto ...

Non ho capito le tue notazioni. A rigore, dovrebbe essere:

$lim_(h->0^+)(f(\pi+h)-f(\pi))/h=lim_(h->0^+)((-\pi+h)^4-(-\pi)^4)/h$

oppure:

$lim_(x->\pi^+)(f(x)-f(\pi))/(x-\pi)=lim_(x->\pi^+)((x-2\pi)^4-(-\pi)^4)/(x-\pi)$

Insomma, la derivata destra della funzione:

$f(x)=(x-2\pi)^4$

calcolata in:

$x=\pi$

[Omi1]

Sisi perdonami. È che ho espresso $ h=x-2pi $ e poi ho espresso in funzione di x e sostituito $ Pi $ al posto di x, ma effettivamente è più corretto come hai scritto tu. A questo punto allora è confermato, ringrazio tutti per i suggerimenti, senza i quali non sarei mai arrivato a conclusione.