Continuità operatori in spazio di Sobolev

[Silence1]

Voglio dimostrare che esiste una sola funzione $u in H_0^1(0,1)$ tale che

$int_0^1(3x+1)u'v'dx=int_0^1(12x-1)vdx$
Mi pare un'applicazione diretta del teorema di Lax-Milgram. Quindi mi serve che l'operatore bilineare a sinistra sia continuo e coercivo, e che l'operatore lineare a destra sia continuo.

Parto dalla coercività (perché penso di averla dimostrata):
ho che $|B(u,u)|=||3x-1||*||u'||_(L^2)^2$ ma visto che $3x+1>=1, x in [0,1]$ allora
$||3x-1||>=1 -> |B(u,u)|>=||u'||_(L^2)^2$

Infine per la disuguaglianza di Poincaré $||u'||_(L^2)^2>=C||u||_(L^2)^2$

Quindi $B(u,u)>=C||u||_(L^2)^2$ che è la condizione di coercività.

Non sono invece sicuro di come dimostrare la continuità dei due. Come dimostro ad esempio che $|B(u,v)|<=M||u'||_(L^2)*||v'||_(L^2)$?

Grazie

[gugo82]

$3x+1$ è $L^oo(0,1)$ e Cauchy-Schwarz.

[Silence1]

Oh, giusto, grazie.

Già che ci sono, finendo l'esercizio mi è sorto un altro dubbio (stavolta di calcolo, probabilmente è una scemenza).
Mi si chiede di provare che $u=x-x^2$

Ho sostituito la sua derivata nell'espressione iniziale e ne esco con $int_0^1(-6x^2+x+1)v'dx=int_0^1(12x-1)vdx$

che ho risolto integrando per parti. Il problema è che a sinistra mi rimane un $-5v$ in più. Avevo pensato che il prodotto fuori dall'integrale si annullasse, ma non è così. O meglio, non mi viene così. Cosa mi sto perdendo?

[dissonance]

Niente, fai bene i conti.

[Silence1]

Questo però significa che mi trovo davanti a

$-5v +int_0^1(12x-1)vdx=int_0^1(12x-1)vdx$

che non verifica l'uguaglianza, o sono scemo?

[gugo82]

Gli integrali sono definiti e $v$ soddisfa delle condizioni al bordo...