Continuità integrale dipendente da un parametro
Ciao!
consideriamo uno spazio misura $(X,Sigma,mu)$ e una funzione $f:Xtimes[a,b]->RR$ tali che valgano le seguenti proprietà
$1)$ per ogni $t in [a,b]$ si ha $f(*,t)$ misurabile
$2)$ per ogni $x in X$ si ha $f(x,*)$ continua
$3)$ esiste $g in L^1(X,mu)$ tale che $abs(f(x,t))leqg(x)$ per ogni $(x,t) in Xtimes[a,b]$
allora la funzione $F(t)=int_Xf(x,t)dmu$ è continua
dimostrazione
dalla $3$ otteniamo che per ogni $t$ la funzione $f(*,t) in L^1(X,mu)$
siano $t_0 in [a,b]$ e ${t_n}_(n in NN)subset[a,b]$ una successione convergente a $t_0$.
definisco $f_n(x)=f(x,t_n)$ ed essendo $|f_n(x)|leqg(x)$ segue che le $f_n$ sono tutte misurabili inoltre
fissato $x in X$ si ha $lim_(n->+infty)f_n(x)=lim_(n->+infty)f(x,t_n)=f(x,t_0)$ per continuità di $f(x,*)$
per il teorema della convergenza dominata si ha che $lim_(n->+infty)int_Xabs(f(x,t_0)-f_n(x))dmu=0$
quindi
ovvero $F$ è continua.
E' corretto? Era una dimostrazione lasciata per esercizio.
Inoltre azzarderei che la stessa identica dimostrazione vale se al posto di $[a,b]$ si sostituisce un qualsiasi spazio topologico $T2$
OSSERVAZIONE
nel libro aggiunge anche che $f(*,t)$ debba essere integrabile per ogni $t$ e mi sembra superfluo dato che essendo $abs(f(x,t))leqg(x)$, no?
consideriamo uno spazio misura $(X,Sigma,mu)$ e una funzione $f:Xtimes[a,b]->RR$ tali che valgano le seguenti proprietà
$1)$ per ogni $t in [a,b]$ si ha $f(*,t)$ misurabile
$2)$ per ogni $x in X$ si ha $f(x,*)$ continua
$3)$ esiste $g in L^1(X,mu)$ tale che $abs(f(x,t))leqg(x)$ per ogni $(x,t) in Xtimes[a,b]$
allora la funzione $F(t)=int_Xf(x,t)dmu$ è continua
dimostrazione
dalla $3$ otteniamo che per ogni $t$ la funzione $f(*,t) in L^1(X,mu)$
siano $t_0 in [a,b]$ e ${t_n}_(n in NN)subset[a,b]$ una successione convergente a $t_0$.
definisco $f_n(x)=f(x,t_n)$ ed essendo $|f_n(x)|leqg(x)$ segue che le $f_n$ sono tutte misurabili inoltre
fissato $x in X$ si ha $lim_(n->+infty)f_n(x)=lim_(n->+infty)f(x,t_n)=f(x,t_0)$ per continuità di $f(x,*)$
per il teorema della convergenza dominata si ha che $lim_(n->+infty)int_Xabs(f(x,t_0)-f_n(x))dmu=0$
quindi
$lim_(n->+infty)int_Xf(x,t_n)dmu=int_Xf(x,t_0)dmu$
ovvero $F$ è continua.
E' corretto? Era una dimostrazione lasciata per esercizio.
Inoltre azzarderei che la stessa identica dimostrazione vale se al posto di $[a,b]$ si sostituisce un qualsiasi spazio topologico $T2$
OSSERVAZIONE
nel libro aggiunge anche che $f(*,t)$ debba essere integrabile per ogni $t$ e mi sembra superfluo dato che essendo $abs(f(x,t))leqg(x)$, no?
Risposte
Beh, sì, è un’applicazione immediata del T.d.C.D.
Per quanto riguarda l’osservazione, no, non credo sia superfluo.
Per quanto riguarda l’osservazione, no, non credo sia superfluo.
Ottimo, perché la soluzione non c’era 
Però non ho capito perché sul libro aggiunga l’ipotesi che debba essere integrabile, potrebbe essere un refuso? A mio avviso l’integrabilita si deduce e quello che serve è la misurabilità.
Essendo $abs(f(x,t))leqg(x)$ segue che per $int_(X)|f(x,t)|dmuleqint_Xg(x)dmu<+infty$ per ogni $t$
Però non ho capito perché sul libro aggiunga l’ipotesi che debba essere integrabile, potrebbe essere un refuso? A mio avviso l’integrabilita si deduce e quello che serve è la misurabilità.
Essendo $abs(f(x,t))leqg(x)$ segue che per $int_(X)|f(x,t)|dmuleqint_Xg(x)dmu<+infty$ per ogni $t$
Aggiungo un dubbio che mi è venuto nell'esercizio successivo, ossia sulla derivazione:
alle ipotesi di prima si cambia che $f(x,*)$ deve essere derivabile per ogni $x$ e che sia $|(partialf)/(partialt)(x,t)|leqg(x)$
quando devo mostrare che la successione di funzioni $f_n(x)=(f(x,t_n)-f(x,t))/(t_n-t)$ è dominata da $g$ posso appellarmi al teorema di Lagrange no?
Di fatto fissato $x in X$ ottengo che $(f(x,t_n)-f(x,t))/(t_n-t)=(partialf)/(partialt)(x,c_n)$ per qualche $c_n$ nell'intervallo di estremi $t_n,t$ da cui
alle ipotesi di prima si cambia che $f(x,*)$ deve essere derivabile per ogni $x$ e che sia $|(partialf)/(partialt)(x,t)|leqg(x)$
quando devo mostrare che la successione di funzioni $f_n(x)=(f(x,t_n)-f(x,t))/(t_n-t)$ è dominata da $g$ posso appellarmi al teorema di Lagrange no?
Di fatto fissato $x in X$ ottengo che $(f(x,t_n)-f(x,t))/(t_n-t)=(partialf)/(partialt)(x,c_n)$ per qualche $c_n$ nell'intervallo di estremi $t_n,t$ da cui
$|f_n(x)|=|(partialf)/(partialt)(x,c_n)|leqg(x)$
Giusto!
Però il teorema di Lagrange non è valido per funzioni a valori complessi. Se usi il teorema fondamentale del calcolo ottieni una dimostrazione che vale anche in quel caso.
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