Continuità in zero di una distribuzione

[CosenTheta]

Consultando i miei appunti sulla definizione di distribuzione, si legge quanto segue.

Una distribuzione $T \in D'$ è un funzionale lineare e continuo, ossia risulta

1)\(\displaystyle T(c\varphi + d\psi) = cT\varphi + dT\psi\)
\(\displaystyle \forall \varphi,\psi \in D\) e \(\displaystyle c,d \in \mathbb{C} \), denotando con $D$ lo spazio delle funzioni test.


2) \(\displaystyle \varphi_n \rightarrow \varphi\) in $D$ $=>$ \(\displaystyle T\varphi_n \rightarrow T\varphi \) in $\mathbb{C}$, denotando con $\varphi_n$ una successione di funzioni test.

A questo è aggiunto che

Notiamo che per la linearità è sufficiente verificare la continuità di $T$ in $0$, ossia
\(\displaystyle \varphi_n \rightarrow 0\) in $D$ $=>$ \(\displaystyle T\varphi_n \rightarrow 0 \) in $\mathbb{C}$

Che cosa vuol dire? E come si dimostra?

Grazie.

[gugo82]

Beh, $Tphi_n - Tphi = T(phi_n - phi)$ e poi usi la definizione di convergenza.

[CosenTheta]

Quindi, da ciò che dici, deduco che abbia portato "a primo membro" ciò che c'è "al secondo", ottenendo $\varphi_n - \varphi$, rinominando il tutto di nuovo $\varphi_n$, giusto?