Continuità di un operatore
Ciao!
siano $X,Y$ spazi normati e sia $f: L(X,Y)timesX->Y$ definita come $f(T,x)=T(x)$
mostrare che è continua.
Ho pensato di usare il "teorema ponte", come segue:
sia ${(T_n,x_n)}_(n in NN)$ una successione in $L(X,Y)timesX$ dove $T_n->T in L(X,Y)$ e $x_n->x in X$
devo mostrare che $T_n(x_n) -> T(x)$
a quanto ho capito su $L(X,Y)$ si considera una norma standard $norm(T)=s u p_(xne0)(||T(x)||)/(||x||)$(o in modi equivalenti, io uso questo) dove $L$ consiste di tutti gli operatori per cui quel sup è finito
two cents
1° cent $norm(T_n) ->norm(T)$ questo è ovvio poiché $abs(norm(T_n)-norm(T)) leqnorm(T_n-T)$
[size=85]Quella sù sarebbe la Lipschitzianità di una norma[/size]
2° cent essendo tutti operatori limitati si ha $norm(T_n(x)-T(x))/norm(x)leqnorm(T_n-T), forallx ne0$
[size=85]Cosa che soddisfa ogni operatore continuo in $x=0$[/size]
Quindi $norm(T_n(x_n)-T(x))->0$
mi sembra corretto, ma è il primo esercizio che faccio di analisi funzionale quindi vorrei conferme.
[ot]Bella st'analisi funzionale, ma non ho ancora capito a cosa serva e dove vuole arrivare.[/ot]
PPPS Ho notato che non si specifica la norma su $L(X,Y)timesX$.
Per caso c'entra qualcosa l'equivalenza tra norme?
siano $X,Y$ spazi normati e sia $f: L(X,Y)timesX->Y$ definita come $f(T,x)=T(x)$
mostrare che è continua.
Ho pensato di usare il "teorema ponte", come segue:
sia ${(T_n,x_n)}_(n in NN)$ una successione in $L(X,Y)timesX$ dove $T_n->T in L(X,Y)$ e $x_n->x in X$
devo mostrare che $T_n(x_n) -> T(x)$
a quanto ho capito su $L(X,Y)$ si considera una norma standard $norm(T)=s u p_(xne0)(||T(x)||)/(||x||)$(o in modi equivalenti, io uso questo) dove $L$ consiste di tutti gli operatori per cui quel sup è finito
$||T_n(x_n)-T(x)||leq||T_n(x_n)-T_n(x)||+||T_n(x)-T(x)||=||T_n(x_n-x)||+||T_n(x)-T(x)||leq$
$leq||T_n||*||x_n-x||+||T_n-T||*||x||$
$leq||T_n||*||x_n-x||+||T_n-T||*||x||$
two cents
1° cent $norm(T_n) ->norm(T)$ questo è ovvio poiché $abs(norm(T_n)-norm(T)) leqnorm(T_n-T)$
[size=85]Quella sù sarebbe la Lipschitzianità di una norma[/size]
2° cent essendo tutti operatori limitati si ha $norm(T_n(x)-T(x))/norm(x)leqnorm(T_n-T), forallx ne0$
[size=85]Cosa che soddisfa ogni operatore continuo in $x=0$[/size]
Quindi $norm(T_n(x_n)-T(x))->0$
mi sembra corretto, ma è il primo esercizio che faccio di analisi funzionale quindi vorrei conferme.
[ot]Bella st'analisi funzionale, ma non ho ancora capito a cosa serva e dove vuole arrivare.[/ot]
PPPS Ho notato che non si specifica la norma su $L(X,Y)timesX$.
Per caso c'entra qualcosa l'equivalenza tra norme?
Risposte
Si è giusto, basta anche osservare che \( \|T_n\| \) è limitata per concludere. Questo
non ho capito a che serve.
Di solito su \( X \times Y \) dove \( X \) e \( Y \) sono spazi normati si considera la norma \( \| \cdot\|_X + \| \cdot \|_Y \) che è quella che induce la topologia prodotto. Però puoi, in generale, scegliere altre norme non equivalenti a questa.
"anto_zoolander":
[...]
2° cent essendo tutti operatori limitati si ha $ norm(T_n(x)-T(x))/norm(x)leqnorm(T_n-T), forallx ne0 $
[size=85]Cosa che soddisfa ogni operatore continuo in $ x=0 $[/size]
[...]
non ho capito a che serve.
Di solito su \( X \times Y \) dove \( X \) e \( Y \) sono spazi normati si considera la norma \( \| \cdot\|_X + \| \cdot \|_Y \) che è quella che induce la topologia prodotto. Però puoi, in generale, scegliere altre norme non equivalenti a questa.
Questa proposizione qua mi pare solo una riformulazione in modo complicato della disuguaglianza
\[
\|Tx\|_Y\le \|T\|_{\mathrm{op}} \|x\|_X, \]
dove la norma "op" è la norma degli operatori, il sup che dici tu.
@anto: il tuo svolgimento mi sembra corretto.
@Bremen: tutte le norme su \(X\times Y\) che siano compatibili con \(X\) e \(Y\) sono equivalenti. Del resto, sul prodotto cartesiano (finito) c'è una sola topologia e una sola struttura di spazio metrico, quindi perché più di una norma?
\[
\|Tx\|_Y\le \|T\|_{\mathrm{op}} \|x\|_X, \]
dove la norma "op" è la norma degli operatori, il sup che dici tu.
@anto: il tuo svolgimento mi sembra corretto.
@Bremen: tutte le norme su \(X\times Y\) che siano compatibili con \(X\) e \(Y\) sono equivalenti. Del resto, sul prodotto cartesiano (finito) c'è una sola topologia e una sola struttura di spazio metrico, quindi perché più di una norma?
@Bremen
Per essere limitato $norm(T_n)$ è limitato: converge a $norm(T)$
Grazie per la informazione sulla norma che induce la topologia prodotto, almeno ora ha un senso(che non avevo trovato).
Il secondo cent era per giustificare le disequazioni.
@Peppe
In effetti ho usato solo quella cosa
Per essere limitato $norm(T_n)$ è limitato: converge a $norm(T)$
Grazie per la informazione sulla norma che induce la topologia prodotto, almeno ora ha un senso(che non avevo trovato).
Il secondo cent era per giustificare le disequazioni.
@Peppe
In effetti ho usato solo quella cosa
"dissonance":
[...] Del resto, sul prodotto cartesiano (finito) c'è una sola topologia e una sola struttura di spazio metrico, quindi perché più di una norma?
Volevo dire che se $X$ o $Y$ è infinito dimensionale allora, in generale, sullo spazio $X \times Y$ si possono mettere anche norme non equivalenti a quella che genera la topologia prodotto.
Una questione che non mi ero mai posto è quella che hai scritto: dici che se due norme rendono le proiezioni su $X$ e su $Y$ continue allora sono equivalenti. È un fatto banale? Non ci ho pensato molto...
Senti adesso che lo hai scritto pure io non sono sicurissimo. Quello di cui sono sicuro è che, se si richiede continuità delle proiezioni E ANCHE delle immersioni \[x\mapsto (x, 0)\qquad y\mapsto (0,y),\]
allora la norma sul prodotto è equivalente a \(\sqrt{|x|^2+|y|^2}\), e quindi a tutte le norme standard sul prodotto. Questa cosa è facile da vedere, ora non me la fare scrivere perché sono da cellulare sull'autobus (!).
Non ti so dire se la continuità delle immersioni viene automaticamente dalla continuità delle proiezioni. Mi verrebbe da dire di sì, ma in queste cose non si può mai sapere.
allora la norma sul prodotto è equivalente a \(\sqrt{|x|^2+|y|^2}\), e quindi a tutte le norme standard sul prodotto. Questa cosa è facile da vedere, ora non me la fare scrivere perché sono da cellulare sull'autobus (!).
Non ti so dire se la continuità delle immersioni viene automaticamente dalla continuità delle proiezioni. Mi verrebbe da dire di sì, ma in queste cose non si può mai sapere.
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