Condizioni per la limitatezza di un operatore

[Frostman]

Buon pomeriggio, avrei bisogno di una mano nel dimostrare che questo operatore così definito è limitato

$A: l^2(mathbb(C))->l^2(mathbb(C))$

$A$\(|x\rangle\)$ = (x_1 +αx_3,x_2 +βx_4,x_3 +αx_1,x_4 +βx_2,x_5 +αx_7,x_6 +βx_8,x_7 +αx_5,x_8 +βx_6,...)$.

Pertanto devo dimostrare che

$ sum_(n = 0)^(+oo) |(Ax)_n|^2 < +oo $

Corretto?

Io avevo pensato di prendere termine per termine

$|x_1 +αx_3|^2 + |x_2 +βx_4|^2 + |x_3 +αx_1|^2 + |x_4 +βx_2|^2 + |x_5 +αx_7|^2 + |x_6 +βx_8|^2 + |x_7 +αx_5|^2 + |x_8 +βx_6|^2 + ...$

$|x_1 +αx_3| <= |x_1|+|α||x_3|$ per disuguaglianza triangolare

$|x_1 +αx_3|^2 <= (|x_1|+|α||x_3|)^2$ prendo i quadrati.

E so che i singoli termini $|x_1|$, $|x_3|$ sono ben definiti, non trovo nessuna condizione per $alpha$ e $beta$

Quindi non saprei dove andare a parare... Consigli?

[Bremen000]

Usa il fatto che $(a+b)^2 \le 2a^2 +2b^2$ e prova a maggiorare \( \|Ax \|^2 \) con una costante per \(\|x\|^2 \).