Condizioni Antitrasformata di Laplace
salve a tutti, a fronte di un esercizio che mi pare non risolvibile, mi chiedo vi sono condizioni che dimostrino l'esistenza o la NON-esistenza dell'antitrasformata di una funzione.
"determinare l'antitrasformata di laplace $ x(t) $ per la funzione "
$ X(s) = (sin(2s))/(s^4+i); Re(s) > 1 $
mio procedimento:
$ X(s)=1/(s^4+j)*sin(2s)=g(s)*sin(2s)=g(s)*e^(2is)/(2i)-g(s)*e^(-2is)/(2i) $
avrei poi diviso in fratti semplici la $ g(s) $ e sfruttato la proprietà di traslazione in t della trasformata di laplace data la presenza dell'esponenziale così da ottenere $ g(s)*e^(-t_0s) = \mathcal(L^-1)[ g(s)](t-t_0) $, tuttavia $ t_0 in mathbb(R) $ ma ho come esponente $ 2is $.
ad avvalorare il fatto che questa funzione non sia antitrasformabile è il risultato di wolfram alpha che afferma che non vi è espressione matematica per questa antitrasformata quindi, vi chiedo, esiste una dimostrazione della non-esistenza a priori di questa antitrasformata sfruttando una qualche condizione che non è rispettata?
"determinare l'antitrasformata di laplace $ x(t) $ per la funzione "
$ X(s) = (sin(2s))/(s^4+i); Re(s) > 1 $
mio procedimento:
$ X(s)=1/(s^4+j)*sin(2s)=g(s)*sin(2s)=g(s)*e^(2is)/(2i)-g(s)*e^(-2is)/(2i) $
avrei poi diviso in fratti semplici la $ g(s) $ e sfruttato la proprietà di traslazione in t della trasformata di laplace data la presenza dell'esponenziale così da ottenere $ g(s)*e^(-t_0s) = \mathcal(L^-1)[ g(s)](t-t_0) $, tuttavia $ t_0 in mathbb(R) $ ma ho come esponente $ 2is $.
ad avvalorare il fatto che questa funzione non sia antitrasformabile è il risultato di wolfram alpha che afferma che non vi è espressione matematica per questa antitrasformata quindi, vi chiedo, esiste una dimostrazione della non-esistenza a priori di questa antitrasformata sfruttando una qualche condizione che non è rispettata?
Risposte
Per quanto poco ne sappia, non so se ci sono condizioni che ti permettano di stabilire l'inesistenza della antitrasformata di Laplace; cose diversa è per la antitrasformata di Fourier, regolata dal teorema dell'inversione. L'unica condizione che mi viene in mente è che la $X(s)$ non sia in alcun modo convergente nella formula dell'ILT, cioè
$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+\infty}X(s)e^{st}ds$$
dove $\sigma \in \mathbb R$ tale che tutte le singolarità di $X$ siano alla sua sinistra. Nel tuo caso, tuttavia, i poli di $s^4+1$ sono tutti alla sinistra di $\text{Re}\ s=1$, per cui essendo $X$ definita per $\text{Re} \ s > 1$, è possibile che si possa stabilire qualcosa. (essendo olomorfa)
Non vado oltre perché non ho idea se per te queste affermazioni hanno un significato e se comunque l'esercizio è possibile che ne richieda uso.
$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+\infty}X(s)e^{st}ds$$
dove $\sigma \in \mathbb R$ tale che tutte le singolarità di $X$ siano alla sua sinistra. Nel tuo caso, tuttavia, i poli di $s^4+1$ sono tutti alla sinistra di $\text{Re}\ s=1$, per cui essendo $X$ definita per $\text{Re} \ s > 1$, è possibile che si possa stabilire qualcosa. (essendo olomorfa)
Non vado oltre perché non ho idea se per te queste affermazioni hanno un significato e se comunque l'esercizio è possibile che ne richieda uso.
Ma tu vuoi sapere se l'antitrasformata non esiste oppure se non si è in grado di darne una espressione analitica? È diverso
"dissonance":
Ma tu vuoi sapere se l'antitrasformata non esiste oppure se non si è in grado di darne una espressione analitica? È diverso
beh... entrambe. l'esercizio è questo, se c'è soluzione vi prego di spiegarmela se no rimango con un altra cosa appesa. la mia curiosità della inesistenza scaturisce dal fatto che con tutti gli artifici matematici applicabili (circoscritti alle conoscenze di cui dispongo) mi risulta impossibile procedere, nè tantomeno wolfram alpha è in grado di darmi una espressione della antitrasformata, e non che dipenda da un sofisticato programma di calcolo matematico avanzato ma non era mai capitato prima con nessun esercizio fatto che wolfram non mi desse soluzione
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