Condizioni al contorno dell'equazione di Laplace
Ciao,
Consideriamo l'equazione di Laplace per una funzione $f$ e mettiamo le condizioni al bordo sulla derivata prima. Tipo $$ f'_{\text{bordo}} = g $$ dove $g$ è una funzione nota. Mi stavo chiedendo che proprietà "minime" deve avere $g$; ad esempio, puoessere discontinua? O non derivabile? A intuito direi di no, ma vorrei conferma.
Grazie in anticipo.
Consideriamo l'equazione di Laplace per una funzione $f$ e mettiamo le condizioni al bordo sulla derivata prima. Tipo $$ f'_{\text{bordo}} = g $$ dove $g$ è una funzione nota. Mi stavo chiedendo che proprietà "minime" deve avere $g$; ad esempio, puoessere discontinua? O non derivabile? A intuito direi di no, ma vorrei conferma.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao, ad esempio, per il problema di Dirichlet nel cerchio, il dato al bordo può tranquillamente essere in $L^1$... come referenze a riguardo potresti guardare l'Evans
In quante dimensioni è ambientato il problema? Quella è una derivata o un gradiente?
"Raptorista":
In quante dimensioni è ambientato il problema? Quella è una derivata o un gradiente?
Appunto... Si dovrebbe chiarire cosa lo OP intende con \(f_{\text{bordo}}^\prime\).
Usualmente, si può assegnare il valore della derivata normale dell'incognita $f$ (cioè della componente di $Df$ lungo la normale esterna al bordo) sul bordo ottenendo il cosiddetto problema di Neumann.
Non credo di aver mai incontrato problemi in cui è assegnata condizione sulla derivata tangenziale (cioè sulla componente tangenziale del gradiente $Df$), ma può essere mia mancanza (non ho mai riflettuto sulla sensatezza di un dato simile, in realtà).
Aspettiamo chiarimenti.
Scusate, ho scritto il messaggio un po' di fretta dal cellulare.
Il "dubbio" mi è venuto in mente riflettendo sul profilo di temperatura nella sezione di un tubo usando le coordinate cilindriche, quindi direi 2 dimensioni (scusate la pessima notazione).
Immaginando la sezione come un cerchio perfetto, mi chiedevo se, sul bordo, potessi avere un andamento della temperatura con $\theta$ anche molto "brutto", ad esempio con dei salti o dei punti angolosi.
Per esempio, posto $R$ il raggio esterno:
$$
T(R,\theta )= g(\theta) =
\begin{cases}
1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\
2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\
\end{cases}
$$
Spesso, poiché è difficile stimare a priori una temperatura al contorno, si impongono le condizioni sul flusso di calore (che è proporzionale alla derivata prima/gradiente). Credo anche io sia un problema di Neumann, ma, in effetti, non mi sono mai chiesto sei il flusso di calore debba per forza essere normale alla superficie.
Considerando ad esempio un problema di Neumann, mi chiedevo se potessi avere una cosa del tipo:
$$\frac {dT(R,\theta )} {dr} \mathbf u_r = \dot Q(\theta) =
\begin{cases}
1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\
2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\
\end{cases}
$$
Il "dubbio" mi è venuto in mente riflettendo sul profilo di temperatura nella sezione di un tubo usando le coordinate cilindriche, quindi direi 2 dimensioni (scusate la pessima notazione).
Immaginando la sezione come un cerchio perfetto, mi chiedevo se, sul bordo, potessi avere un andamento della temperatura con $\theta$ anche molto "brutto", ad esempio con dei salti o dei punti angolosi.
Per esempio, posto $R$ il raggio esterno:
$$
T(R,\theta )= g(\theta) =
\begin{cases}
1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\
2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\
\end{cases}
$$
Spesso, poiché è difficile stimare a priori una temperatura al contorno, si impongono le condizioni sul flusso di calore (che è proporzionale alla derivata prima/gradiente). Credo anche io sia un problema di Neumann, ma, in effetti, non mi sono mai chiesto sei il flusso di calore debba per forza essere normale alla superficie.
Considerando ad esempio un problema di Neumann, mi chiedevo se potessi avere una cosa del tipo:
$$\frac {dT(R,\theta )} {dr} \mathbf u_r = \dot Q(\theta) =
\begin{cases}
1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\
2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\
\end{cases}
$$
"gugo82":
Non credo di aver mai incontrato problemi in cui è assegnata condizione sulla derivata tangenziale (cioè sulla componente tangenziale del gradiente $Df$), ma può essere mia mancanza (non ho mai riflettuto sulla sensatezza di un dato simile, in realtà).
Recentemente stavo pensando a una cosa del genere per un modello di elettrostatica. Non siamo andati oltre al pensiero però al momento.
"dRic":
Immaginando la sezione come un cerchio perfetto, mi chiedevo se, sul bordo, potessi avere un andamento della temperatura con $ \theta $ anche molto "brutto", ad esempio con dei salti o dei punti angolosi.
Questo dipende dalla tua nozione di soluzione. Se cerchi soluzioni classiche dell'equazione allora non è possibile avere un dato al bordo troppo irregolare, perché una soluzione classica ha due derivate continue all'interno del dominio ed è continua fino al bordo incluso.
[Disclaimer: quello che segue potrebbe essere impreciso perché non ricordo bene tutti i dettagli, ma ti darà un'idea della situazione.]
Le cose cambiano se cerchi una soluzione debole, ad esempio in \(H^1\), perché in tal caso un dato al bordo di Dirichlet può essere anche solo una traccia di una funzione \(H^1(\Omega)\).
"dRic":
Per esempio, posto $ R $ il raggio esterno:
\[ T(R,\theta )= g(\theta) = \begin{cases} 1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\ 2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases} \]
Spesso, poiché è difficile stimare a priori una temperatura al contorno, si impongono le condizioni sul flusso di calore (che è proporzionale alla derivata prima/gradiente). Credo anche io sia un problema di Neumann, ma, in effetti, non mi sono mai chiesto sei il flusso di calore debba per forza essere normale alla superficie.
Non deve, ma la parte tangenziale non rientra nella condizione al bordo di solito perché il problema è ben posto specificando la parte normale.
"dRic":
Considerando ad esempio un problema di Neumann, mi chiedevo se potessi avere una cosa del tipo:
\[ \frac {dT(R,\theta )} {dr} \mathbf u_r = \dot Q(\theta) = \begin{cases} 1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\ 2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases} \]
Per un problema di Neumann in forma forte vale quello che ho detto prima; in forma debole devi avere il dato al bordo in \(L^2(\partial\Omega)\), se il dominio è abbastanza regolare (Lipschitziano almeno?).
La morale della storia è che è possibile formulare dei problemi per equazioni con dati discontinui, ma questo richiede una matematica di un livello superiore ed infatti è stato uno dei punti focali dell'analisi nell'ultimo secolo.
Grazie. Sto ancora studiando alcune cose cui hai accennato quindi ci devo riflettere un po'.
Esaminando il problema di Dirichlet sul cerchio mi pare di aver capito leggendo su un libro che la soluzione si può sempre trovare se il bordo sta in $L^1(\partial \Omega)$ e in particolare ho letto che (dentro al cerchio) risulta sempre derivabile. Quindi il primo dei due esempi che ho proposto dovrebbe avere soluzione sempre. Sotto ipotesi più stringenti non mi stupirebbe se anche il problema di Neumann sia risolvibile, come hai accennato.
L'unica cosa che non ho capito è quando parli della soluzione debole. Non ho mai seguito un corso su PDE quindi non ho mai approfondito la cosa, ne ho solo sentito parlare. Non ho capito se queste soluzioni "deboli" hanno senso fisico oppure sono da "scartare"?
Esaminando il problema di Dirichlet sul cerchio mi pare di aver capito leggendo su un libro che la soluzione si può sempre trovare se il bordo sta in $L^1(\partial \Omega)$ e in particolare ho letto che (dentro al cerchio) risulta sempre derivabile. Quindi il primo dei due esempi che ho proposto dovrebbe avere soluzione sempre. Sotto ipotesi più stringenti non mi stupirebbe se anche il problema di Neumann sia risolvibile, come hai accennato.
L'unica cosa che non ho capito è quando parli della soluzione debole. Non ho mai seguito un corso su PDE quindi non ho mai approfondito la cosa, ne ho solo sentito parlare. Non ho capito se queste soluzioni "deboli" hanno senso fisico oppure sono da "scartare"?
Stai affrontando le cose nell'ordine inverso 
Prima di dire che una soluzione esiste se il dato al bordo è in \(L^1(\partial\Omega)\) devi definire che cosa intendi per soluzione.
Breve riassunto, con l'equazione di Poisson
\[
\begin{cases}
\Delta u = f & in \ \Omega \\
u = g & su \ \partial\Omega
\end{cases}
\]
con \(\Omega\) aperto con bordo sufficientemente regolare.
Una soluzione classica dell'equazione è una funzione \(u \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline\Omega)\) che soddisfa l'equazione in ogni punto. È la definizione più intuitiva ed è la prima usata storicamente, ma la richiesta di regolarità sulla soluzione non può essere rilassata facilmente perché altrimenti come calcoli le derivate?
Successivamente si è scoperto che la richiesta è troppo restrittiva, e quindi è stato inventato il seguente ragionamento.
Prendi una funzione \(v \in C^\infty(\Omega)\), moltiplicala per l'equazione e integra sul dominio entrambi i membri, ottieni
\[
\int\Delta u v = \int f v \quad \forall v
\]
che è una forma equivalente della stessa equazione. A questo punto però puoi buttare via \(u \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline\Omega)\) e chiedere che la funzione sia solo abbastanza regolare da rendere sensata la nuova forma, quella con gli integrali [di Lebesgue!], per esempio, adesso basta che \(u \in H^2(\Omega)\), cioè \(u\) e le sue derivate prime e seconde devono essere in \(L^2(\Omega)\). Questo è un esempio di definizione di una soluzione debole. In particolare non è più importante se la funzione non è derivabile in un sottoinsieme di misura nulla, e quindi se anche nei coefficienti dell'equazione ci sono discontinuità una soluzione si trova ugualmente.
Alcune definizioni di soluzioni deboli sono quelle che hanno più attinenza col mondo fisico, e in generale rispecchiano meglio delle soluzioni classiche il modo in cui funziona il nostro universo, a tal punto che Boltzmann non si sarebbe suicidato se solo fossero state inventate prima.
Prima di dire che una soluzione esiste se il dato al bordo è in \(L^1(\partial\Omega)\) devi definire che cosa intendi per soluzione.
Breve riassunto, con l'equazione di Poisson
\[
\begin{cases}
\Delta u = f & in \ \Omega \\
u = g & su \ \partial\Omega
\end{cases}
\]
con \(\Omega\) aperto con bordo sufficientemente regolare.
Una soluzione classica dell'equazione è una funzione \(u \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline\Omega)\) che soddisfa l'equazione in ogni punto. È la definizione più intuitiva ed è la prima usata storicamente, ma la richiesta di regolarità sulla soluzione non può essere rilassata facilmente perché altrimenti come calcoli le derivate?
Successivamente si è scoperto che la richiesta è troppo restrittiva, e quindi è stato inventato il seguente ragionamento.
Prendi una funzione \(v \in C^\infty(\Omega)\), moltiplicala per l'equazione e integra sul dominio entrambi i membri, ottieni
\[
\int\Delta u v = \int f v \quad \forall v
\]
che è una forma equivalente della stessa equazione. A questo punto però puoi buttare via \(u \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline\Omega)\) e chiedere che la funzione sia solo abbastanza regolare da rendere sensata la nuova forma, quella con gli integrali [di Lebesgue!], per esempio, adesso basta che \(u \in H^2(\Omega)\), cioè \(u\) e le sue derivate prime e seconde devono essere in \(L^2(\Omega)\). Questo è un esempio di definizione di una soluzione debole. In particolare non è più importante se la funzione non è derivabile in un sottoinsieme di misura nulla, e quindi se anche nei coefficienti dell'equazione ci sono discontinuità una soluzione si trova ugualmente.
Alcune definizioni di soluzioni deboli sono quelle che hanno più attinenza col mondo fisico, e in generale rispecchiano meglio delle soluzioni classiche il modo in cui funziona il nostro universo, a tal punto che Boltzmann non si sarebbe suicidato se solo fossero state inventate prima.
Grazie mille! Sei stato molto chiaro!
Una cosa che mi sono dimenticato più volte di specificare è che se il problema è completamente di Neumann allora il dato al bordo deve avere media integrale nulla, altrimenti il problema non può avere soluzione.
Avrei qualcosa da aggiungere al post di Raptorista, ma ora non ho granché tempo.
Appena riesco scrivo due cosette.
@dRic: Le PDE non sono semplici. Se ti interessano, aspetta che sia il tempo per studiarle seriamente.
Appena riesco scrivo due cosette.
@dRic: Le PDE non sono semplici. Se ti interessano, aspetta che sia il tempo per studiarle seriamente.
@gugo82
[ot]Avessi un esame aspetterei volentieri. Ormai ho iniziato la magistrale ad ingegneria e non ho nemmeno un esame sulle PDE. Il problema è che poi vediamo mille modelli fisici che usano PDE ed abbiamo anche un esame di soluzione numeriche di PDE ma tutto quello che so a riguardo viene da studio personale e questo forum...
Magari per quello che devo fare io è un po' eccessivo sapere queste cose, ma a me sembrano dubbi legittimi che uno può anche incontrare nella pratica.
Va beh, piccolo sfogo personale OT. Un giorno cercherò di affrontare l'argomento in maniera più sistematica.[/ot]
[ot]Avessi un esame aspetterei volentieri. Ormai ho iniziato la magistrale ad ingegneria e non ho nemmeno un esame sulle PDE. Il problema è che poi vediamo mille modelli fisici che usano PDE ed abbiamo anche un esame di soluzione numeriche di PDE ma tutto quello che so a riguardo viene da studio personale e questo forum...
Magari per quello che devo fare io è un po' eccessivo sapere queste cose, ma a me sembrano dubbi legittimi che uno può anche incontrare nella pratica.
Va beh, piccolo sfogo personale OT. Un giorno cercherò di affrontare l'argomento in maniera più sistematica.[/ot]
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