Compattezza in l2(N)
Salve a tutti, avrei una domanda di analisi funzionale riguardante la compattezza nello spazio $ l^2(\mathbb(N)) $ . Data $c\in l^2(\mathbb(N))$ considero l'insieme $A=\{x\in l^2(\mathbb(N)): |x(n)|\leq |c(n)| \forall n\in\mathbb(N))\}$: devo dimostrare che $A$ è compatto.
Avevo intenzione di farlo secondo la definizione per cui un insieme è compatto se e solo se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente, e in tal senso avevo pensato a un procedimento di questo tipo:
sia $\{x_k\}$ una successione in $A$, allora per ogni $n$ $x_k(n)$ è una successione limitata. Parto da $n=1$: essendo $x_n(1)$ limitata al variare di $n$, esiste una sottosuccessione $n_p$ t.c. $x_{n_p}$ converge a un numero, che chiamerò $x(1)$, e chiaramente $|x(1)|<|c(1)|$. Considero ora $x_{n_p}(2)$: con lo stesso ragionamento trovo una sottosuccessione (che con un abuso di notazione continuo a chiamare $n_p$) convergente, e così via al crescere di $n$.
E' un procedimento valido? O sto perdendo qualche "pezzo" per strada?
Grazie mille per l'aiuto!
Avevo intenzione di farlo secondo la definizione per cui un insieme è compatto se e solo se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente, e in tal senso avevo pensato a un procedimento di questo tipo:
sia $\{x_k\}$ una successione in $A$, allora per ogni $n$ $x_k(n)$ è una successione limitata. Parto da $n=1$: essendo $x_n(1)$ limitata al variare di $n$, esiste una sottosuccessione $n_p$ t.c. $x_{n_p}$ converge a un numero, che chiamerò $x(1)$, e chiaramente $|x(1)|<|c(1)|$. Considero ora $x_{n_p}(2)$: con lo stesso ragionamento trovo una sottosuccessione (che con un abuso di notazione continuo a chiamare $n_p$) convergente, e così via al crescere di $n$.
E' un procedimento valido? O sto perdendo qualche "pezzo" per strada?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Non ho controllato tutti i dettagli ma sì, mi aspetto che si possa dimostrare con un qualche procedimento diagonale (se non ricordo male quell'insieme si chiama cubo di Hilbert). Detto ciò, se non vedo male, \(A \subset \prod \mathbb{R} \) dovrebbe essere \[ A = [-|c_1|,|c_1|] \times [-|c_2|,|c_2|] \times \dots \]ed in quanto prodotto di compatti è compatto nella topologia prodotto per il teorema di Tychonoff.
Ciao, grazie per la risposta! Anche io come prima cosa avevo pensato a quello, ma non ero sicura che la topologia prodotto coincidesse con quella indotta dalla norma $l^2$...
Hai ragione, non avevo letto bene il titolo. In effetti vale l'inclusione \( \text{topologia prodotto} \subset \text{topologia } \ell^2 \) (da un esercizio del Munkres). Meglio fare come suggerisci tu.
Si', questa e' la definizione di compattezza sequenziale.
La tua costruzione secondo me funziona. Nota che se \(I_i\) e' l'insieme degli indici all'i-esimo raffinamento, dev'essere \(I_{i+1} \subseteq I_i\), altrimenti non ottieni una sottosuccessione della successione di partenza. Poi devi far vedere che effettivamente la tua sottosuccessione converge al candidato limite in norma \(\ell^2\).
"Ire_db":
[...] Avevo intenzione di farlo secondo la definizione per cui un insieme è compatto se e solo se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente [...]
Si', questa e' la definizione di compattezza sequenziale.
La tua costruzione secondo me funziona. Nota che se \(I_i\) e' l'insieme degli indici all'i-esimo raffinamento, dev'essere \(I_{i+1} \subseteq I_i\), altrimenti non ottieni una sottosuccessione della successione di partenza. Poi devi far vedere che effettivamente la tua sottosuccessione converge al candidato limite in norma \(\ell^2\).
Va bene, provo a formalizzare la convergenza in $l^2$ della sottosuccessione che ho individuato...
Dato $\epsilon>0$, sicuramente (maggioro con la serie convergente dei $4|c(k)|^2$)esiste $N>0$ tale che $\sum_{k=N}^{\infty}|x_n(k)-z(k)|^2<\epsilon$ (e quindi questo vale per tutte le "code" delle sottosuccessioni considerate). Ora, per come ho costruito $x_{n_p}$, per ogni $1\leq k\leq N$ esiste $p_k$ tale che $|x_{n_p}(k)-z(k)|^2<\epsilon$ per ogni $p>p_k$. Posto $p_0$ il massimo tra i $p_k$, ho che per ogni $p>p_0$
\[ \sum_{k=1}^{N}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2 + \sum_{k=N+1}^{\infty}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2
La dimostrazione può funzionare? Grazie mille
Dato $\epsilon>0$, sicuramente (maggioro con la serie convergente dei $4|c(k)|^2$)esiste $N>0$ tale che $\sum_{k=N}^{\infty}|x_n(k)-z(k)|^2<\epsilon$ (e quindi questo vale per tutte le "code" delle sottosuccessioni considerate). Ora, per come ho costruito $x_{n_p}$, per ogni $1\leq k\leq N$ esiste $p_k$ tale che $|x_{n_p}(k)-z(k)|^2<\epsilon$ per ogni $p>p_k$. Posto $p_0$ il massimo tra i $p_k$, ho che per ogni $p>p_0$
\[ \sum_{k=1}^{N}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2 + \sum_{k=N+1}^{\infty}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2
La dimostrazione può funzionare? Grazie mille
"Ire_db":
[...]
\[ \sum_{k=1}^{N}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2 + \sum_{k=N+1}^{\infty}|x_{n_p}(k)-z(k)|^2
Scritta così non può funzionare perché \(N\) dipende da \( \epsilon \). La premessa è corretta, per ogni \( \epsilon \) esiste \(N\) tale che le code sono definitivamente controllate da \( \epsilon \); invece che richiedere che \( |x_{n_p} (k) - z(k) |<\epsilon \), basta che richiedi che l'intera somma \[ \sum_{k=1}^N |x_{n_p} (k) - z(k) |^2 <\epsilon. \]Questo lo puoi sempre fare (perché la somma è finita), a patto che \(n_p\) sia sufficientemente grande.
Ciao, grazie per le precisazioni, un ulteriore dubbio: mi pare di aver preso N dipendente da n, e invece dovrebbe essere indipendente, per poterlo sfruttare nel mio ragionamento, o no? Se sì, come risolvere il problema delle code in modo uniforme sulla "successione di successioni" in $l^2$?
Ma siamo nel cubo di Hilbert! Ho dato per scontanto che l'avessi in mente, invece evidentemente no. De facto abbiamo costruito una successione (non riscrivo i sottoindici) \( \{ x_n \}_n \subset \ell^2\) con la proprietà che \( x_n (1) \to z(1)\), \(x_n (2) \to z(2) \) etc... Fissato \( \epsilon > 0\) esiste \( N=N(\epsilon) \in \mathbb{N}\) tale che \[ \sum_{k=N}^\infty |c(k)|^2 < \epsilon \] donde \[ \sum_{k=N}^\infty |x_n (k) - z(k)|^2 \le 4 \sum_{k=N}^\infty |c(k)|^2 < 4 \epsilon. \] Questo è vero per ogni \( n \).
Oddio perdonami, l'avevo anche usato e poi me ne sono dimenticata per strada! Grazie mille, e scusami per le sviste 
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