Commutatività pullback/derivata esterna
Sto cercando di capire bene questa dimostrazione:
https://math.stackexchange.com/question ... derivative
ma mi fermo al penultimo passaggio, cioé quando passa da \(\displaystyle d(\phi^* f) \wedge \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r}) \) a \(\displaystyle d ((\phi^* f) \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r})) \).
Quello che non capisco è come mai il termine che contiene le derivate seconde faccia zero, sotto come risposta c'è anche scritto un motivo, ma la spiegazione proprio non l'ho capita.
Scrivo esplicitamente il solo termine che dovrebbe annullarsi:
\(\displaystyle \sum_{1\leq j_1<...
\frac{\partial \phi^{\mu_2}}{\partial t^{j_1}} & ... & \frac{\partial \phi^{\mu_2}}{\partial t^{j_r}} \\ ... & ... & ... \\
\frac{\partial \phi^{\mu_r}}{\partial t^{j_1}} & ... & \frac{\partial \phi^{\mu_r}}{\partial t^{j_r}}
\end{pmatrix} \right ) \wedge dt^{j_1}\wedge ... \wedge dt^{j_r}\)
Espandere quelle derivate del determinante mi sembra un lavoraccio, c'è un modo intuitivo di vedere perché il tutto fa zero?
https://math.stackexchange.com/question ... derivative
ma mi fermo al penultimo passaggio, cioé quando passa da \(\displaystyle d(\phi^* f) \wedge \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r}) \) a \(\displaystyle d ((\phi^* f) \phi^*(dx^{\mu_1}\wedge ...\wedge dx^{\mu_r})) \).
Quello che non capisco è come mai il termine che contiene le derivate seconde faccia zero, sotto come risposta c'è anche scritto un motivo, ma la spiegazione proprio non l'ho capita.
Scrivo esplicitamente il solo termine che dovrebbe annullarsi:
\(\displaystyle \sum_{1\leq j_1<...
\frac{\partial \phi^{\mu_2}}{\partial t^{j_1}} & ... & \frac{\partial \phi^{\mu_2}}{\partial t^{j_r}} \\ ... & ... & ... \\
\frac{\partial \phi^{\mu_r}}{\partial t^{j_1}} & ... & \frac{\partial \phi^{\mu_r}}{\partial t^{j_r}}
\end{pmatrix} \right ) \wedge dt^{j_1}\wedge ... \wedge dt^{j_r}\)
Espandere quelle derivate del determinante mi sembra un lavoraccio, c'è un modo intuitivo di vedere perché il tutto fa zero?
Risposte
Direi che ha usato questi fatti:
[list=1][*:2ckg6w5t] per ogni indice \(\mu\), \(d\phi^{\ast}x^{\mu} = \phi^{\ast}dx^{\mu}\) (la dimostrazione è stata fatta per funzioni \(f\) generiche);[/*:m:2ckg6w5t]
[*:2ckg6w5t] per ogni \(\omega, \tau\in \Omega^r_n\), \(\phi^{\ast}(\omega\wedge\tau) = (\phi^{\ast}\omega)\wedge(\phi^{\ast}\tau) \) (questo è stato usato senza dimostrazione in varie parti)[/*:m:2ckg6w5t][/list:o:2ckg6w5t]
Quindi sostanzialmente:
\begin{align*} \phi^{\ast}(dx^{\mu_1}\wedge \dotsb\wedge dx^{\mu_r}) &= (\phi^{\ast}dx^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge (\phi^{\ast}dx^{\mu_r}) \\
&= d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})
\end{align*}
Pertanto
\begin{align*} d(\phi^{\ast}(dx^{\mu_1}\wedge \dotsb\wedge dx^{\mu_r})) &= d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \\
&= \sum_{i=1}^r (-1)^r d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d^2(\phi^{\ast}x^{\mu_{i}}) \wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r}) \\
&= 0
\end{align*}
[list=1][*:2ckg6w5t] per ogni indice \(\mu\), \(d\phi^{\ast}x^{\mu} = \phi^{\ast}dx^{\mu}\) (la dimostrazione è stata fatta per funzioni \(f\) generiche);[/*:m:2ckg6w5t]
[*:2ckg6w5t] per ogni \(\omega, \tau\in \Omega^r_n\), \(\phi^{\ast}(\omega\wedge\tau) = (\phi^{\ast}\omega)\wedge(\phi^{\ast}\tau) \) (questo è stato usato senza dimostrazione in varie parti)[/*:m:2ckg6w5t][/list:o:2ckg6w5t]
Quindi sostanzialmente:
\begin{align*} \phi^{\ast}(dx^{\mu_1}\wedge \dotsb\wedge dx^{\mu_r}) &= (\phi^{\ast}dx^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge (\phi^{\ast}dx^{\mu_r}) \\
&= d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})
\end{align*}
Pertanto
\begin{align*} d(\phi^{\ast}(dx^{\mu_1}\wedge \dotsb\wedge dx^{\mu_r})) &= d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \\
&= \sum_{i=1}^r (-1)^r d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d^2(\phi^{\ast}x^{\mu_{i}}) \wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r}) \\
&= 0
\end{align*}
Grazie.
Posso chiederti per favore come si passa da \(\displaystyle d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \) a \(\displaystyle \sum_{i=1}^r (-1)^r d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d^2(\phi^{\ast}x^{\mu_{i}}) \wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r}) \) ?
Io quell'espressione \( \displaystyle d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \) saprei aprirmela solo tornando alla definizione di derivata esterna, il che vorrebbe dire che riaprirei i vari differenziali singoli vanificando tutto
Posso chiederti per favore come si passa da \(\displaystyle d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \) a \(\displaystyle \sum_{i=1}^r (-1)^r d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d^2(\phi^{\ast}x^{\mu_{i}}) \wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r}) \) ?
Io quell'espressione \( \displaystyle d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \) saprei aprirmela solo tornando alla definizione di derivata esterna, il che vorrebbe dire che riaprirei i vari differenziali singoli vanificando tutto
Ah ecco, sono riuscito a vederla così (ma la domanda del messaggio precedente resta, perché sicuramente quello che sto per scrivere non è il modo migliore per vederlo): prendendo \( \displaystyle d(d(\phi^{\ast}x^{\mu_1})\wedge \dotsb\wedge d(\phi^{\ast}x^{\mu_r})) \) e aprendo tutto si ottiene
\(\displaystyle d\left( \sum_{j_1,...,j_r=1}^n \frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r}\right) \)
e cioé:
\(\displaystyle \sum_{j_0,j_1,...,j_r=1}^n \frac{\partial}{\partial t^{j_0}} \left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} \right) dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)
\(\displaystyle \sum_{j_0,j_1,...,j_r=1}^n \left(\sum_{k=1}^n \frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial^2 x^{i_k}}{\partial t^{j_0}\partial t^{j_k}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} \right) dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)
Da qui si vede che, per ogni \(\displaystyle k \) fissato, c'è sempre sia l'addendo caratterizzato dagli indici \(\displaystyle (j_0,j_k) \) che quello da \(\displaystyle (j_k,j_0) \) che sono uguali a meno del segno (a causa di \(\displaystyle dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)) e quindi tutti si elidono a coppie.
La cosa curiosa è che l'espressione aperta che ho usato in questo messaggio è in realtà la stessa che ho scritto all'inizio nel messaggio [1], ma in quella forma (che è quella più compatta perché contiene già le semplificazioni) risulta essere meno utile di questa non semplificata con le sommatorie non ridotte (dove al posto dei determinanti compaiono prodotti semplici di derivate parziali).
E' giusto? Come si poteva fare meglio?
\(\displaystyle d\left( \sum_{j_1,...,j_r=1}^n \frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r}\right) \)
e cioé:
\(\displaystyle \sum_{j_0,j_1,...,j_r=1}^n \frac{\partial}{\partial t^{j_0}} \left(\frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} \right) dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)
\(\displaystyle \sum_{j_0,j_1,...,j_r=1}^n \left(\sum_{k=1}^n \frac{\partial x^{i_1}}{\partial t^{j_1}} \cdot ...\cdot \frac{\partial^2 x^{i_k}}{\partial t^{j_0}\partial t^{j_k}} \cdot ...\cdot \frac{\partial x^{i_r}}{\partial t^{j_r}} \right) dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)
Da qui si vede che, per ogni \(\displaystyle k \) fissato, c'è sempre sia l'addendo caratterizzato dagli indici \(\displaystyle (j_0,j_k) \) che quello da \(\displaystyle (j_k,j_0) \) che sono uguali a meno del segno (a causa di \(\displaystyle dt^{j_0}\wedge dt^{j_1}\wedge ...\wedge dt^{j_r} \)) e quindi tutti si elidono a coppie.
La cosa curiosa è che l'espressione aperta che ho usato in questo messaggio è in realtà la stessa che ho scritto all'inizio nel messaggio [1], ma in quella forma (che è quella più compatta perché contiene già le semplificazioni) risulta essere meno utile di questa non semplificata con le sommatorie non ridotte (dove al posto dei determinanti compaiono prodotti semplici di derivate parziali).
E' giusto? Come si poteva fare meglio?
A me sembra giusto e non saprei proprio come fare di meglio. Immagino ci sia una dimostrazione di questa roba coordinate-free, ma non so se sia realmente più informativa di questa. Quanto al determinante, potevi fare questo stesso conto usando la formula del differenziale di un determinante; https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula. Io però non ci ho provato, non so se vengono fuori conti più semplici, e non lo credo.
Grazie mille.
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