Coefficienti serie di fourier
Ho da risolvere questo problema:
Per il primo punto non ho problemi:
ho trovato $f_0 = 2f_1$ poichè il segnale è una funzione coseno raddrizzata (e mi trovo con il risultato del libro)
Per il secondo punto ho ragionato così:
sapendo che i coefficienti della serie di Fourier sono così definiti ($j=sqrt(-1)$):
$x_k = 1/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t)e^{-j2\pikf_0t} dt$
ho espanso il fasore come somma di seno e coseno, trovandomi così 2 integrali:
1 - $-j/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)sin(2\pikf_0t)dt$
che vale 0 poichè prodotto tra una funzione pari e una dispari (quindi ho una funzione dispari) e la integro tra due estremi opposti
2 - $1/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)cos(2\pikf_0t)dt$
quì ho sfruttato il fatto che il prodotto è una funzione pari e per come ho scelto gli estremi di integrazione x(t) è sempre positiva (quindi posso togliere il modulo). Mi trovo quindi a risolvere questo integrale :
$2/T_0int_{0}^{T_0/2}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)dt$
Come risultato mi trovo $x_k=-2/{\pi(1-4k^2)}$
Ma il libro porta come risultato $(-1)^k2/{\pi(1-4k^2)}$
Dov'è che sbaglio????
Grazie in anticipo
Si consideri il seguente segnale periodico:
$ x(t) = abs(cos(2\pif_1t))$
(a) Determinare il periodo $T_0$ e la frequenza fondamentale $f_0$ del segnale.
(b) Determinare i coefficienti $x_k$ della serie di Fourier di $x(t)$
Per il primo punto non ho problemi:
ho trovato $f_0 = 2f_1$ poichè il segnale è una funzione coseno raddrizzata (e mi trovo con il risultato del libro)
Per il secondo punto ho ragionato così:
sapendo che i coefficienti della serie di Fourier sono così definiti ($j=sqrt(-1)$):
$x_k = 1/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t)e^{-j2\pikf_0t} dt$
ho espanso il fasore come somma di seno e coseno, trovandomi così 2 integrali:
1 - $-j/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)sin(2\pikf_0t)dt$
che vale 0 poichè prodotto tra una funzione pari e una dispari (quindi ho una funzione dispari) e la integro tra due estremi opposti
2 - $1/T_0int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)cos(2\pikf_0t)dt$
quì ho sfruttato il fatto che il prodotto è una funzione pari e per come ho scelto gli estremi di integrazione x(t) è sempre positiva (quindi posso togliere il modulo). Mi trovo quindi a risolvere questo integrale :
$2/T_0int_{0}^{T_0/2}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)dt$
Come risultato mi trovo $x_k=-2/{\pi(1-4k^2)}$
Ma il libro porta come risultato $(-1)^k2/{\pi(1-4k^2)}$
Dov'è che sbaglio????
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao Antonio_IIF,
Benvenuto sul forum!
Secondo me i conti, perché a me risulta:
$ 2/T_0 \int_{0}^{T_0/2}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = 2f_0 \int_{0}^{1/(2f_0)}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = ... = $
$ = 2 f_0 \frac{cos(k\pi)}{f_0 \pi - 4 f_0 \pi k^2} = (-1)^k \frac{2}{\pi(1 - 4 k^2)}$
Benvenuto sul forum!
"Antonio_IIF":
Dov'è che sbaglio????
Secondo me i conti, perché a me risulta:
$ 2/T_0 \int_{0}^{T_0/2}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = 2f_0 \int_{0}^{1/(2f_0)}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = ... = $
$ = 2 f_0 \frac{cos(k\pi)}{f_0 \pi - 4 f_0 \pi k^2} = (-1)^k \frac{2}{\pi(1 - 4 k^2)}$
"pilloeffe":
Ciao Antonio_IIF,
Benvenuto sul forum!
[quote="Antonio_IIF"]Dov'è che sbaglio????
Secondo me i conti, perché a me risulta:
$ 2/T_0 \int_{0}^{T_0/2}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = 2f_0 \int_{0}^{1/(2f_0)}cos(\pif_0t)cos(2\pikf_0t)\text{d}t = ... = $
$ = 2 f_0 \frac{cos(k\pi)}{f_0 \pi - 4 f_0 \pi k^2} = (-1)^k \frac{2}{\pi(1 - 4 k^2)}$[/quote]
Grazie mille pilloeffe. Credevo di aver sbagliato completamente ragionamento
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