Coefficienti di Fourier

[tgrammer]

si consideri l'equazione $ -(d^2f)/dx^2=F(x) $ per la funzione $ f(x) $ con $ x∈[-L,L] $ con condizioni $ f(-L)=f'(L)=0 $. trovare i coefficienti di Fourier di $ f(x) $ nel sistema ortonormale completo $ {1/(√L)sin((k-1/2)π((x+L))/(2L))}_{k≥1 $ nel caso in cui $ F(x)=c $

il risultato è $ a_k=(64L^2c√L)/((2k-1)^3π^3 $

mi perdo nei calcoli e non c'è modo in cui io riesca a giungere quel risultato... forse c'è una strategia che mi sfugge per arrivarci risparmiando calcolI?

[gugo82]

Posso sapere qual è il senso di aprire dieci thread sulla stessa questione, parcellizzando un unico (anche banale) esercizio in dieci parti?

[tgrammer]

pensavo fosse meglio aprire thread diversi per domande diverse

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

Beh, se $F(x) = c $ l'equazione differenziale del secondo ordine è elementare e ha la soluzione seguente:

$f(x) = - c/2 x^2 + c_1 x + c_2 $

Per determinare le due costanti $c_1 $ e $c_2 $ basta sfruttare le due condizioni $ f(-L)=f'(L)=0 $, per cui si ha:

$ 0 = f(- L) = - c/2 L^2 - c_1 L + c_2 $

$ 0 = f'(L) = - c L + c_1 \implies c_1 = c L $

Quest'ultima, sostituita nella precedente, porge:

$ - c/2 L^2 - c L^2 + c_2 = 0 \implies c_2 = c/2 L^2 + c L^2 = 3/2 c L^2 $

In definitiva salvo che non abbia sbagliato i conti si ha:

$ f(x) = - c/2 x^2 + c L x + 3/2 c L^2 $

che è una parabola. Ora prova a proseguire tu...

[tgrammer]

grazie, fatto!