Classificazione singolarità
Sera ragazzi,
mi accorgo di non riuscire bene a formalizzarmi il perché:
$f(w)=e^(1/w)$ abbia singolarità essenziale in w=0
Per quale motivo posso classificarla come essenziale?
Ovviamente non ho dubbi sull'individuarla, ma come mostro che è essenziale? 0 non è punto di accumulazione di zeri, il limite di |f(w)|, w->0 mi viene difficile da vare per capire se converge, diverge o non esiste e quindi classificarla.
Non ho in mente altri metodi. Mi potreste aiutare? gracias.
mi accorgo di non riuscire bene a formalizzarmi il perché:
$f(w)=e^(1/w)$ abbia singolarità essenziale in w=0
Per quale motivo posso classificarla come essenziale?
Ovviamente non ho dubbi sull'individuarla, ma come mostro che è essenziale? 0 non è punto di accumulazione di zeri, il limite di |f(w)|, w->0 mi viene difficile da vare per capire se converge, diverge o non esiste e quindi classificarla.
Non ho in mente altri metodi. Mi potreste aiutare? gracias.
Risposte
Qual è la definizione di singolarità essenziale?
Rifletti su questo.
Rifletti su questo.
Il fatto che abbia infinite potenze negative del "polinomio" (bruttura lo so, ma per spiegare).
Potrei qundi svilupparla in serie prendendo w ainfinito, cioè così che sia e elevato a una t->0, con t=1/w. D'altra parte lo sviluppo vale su tutto il piano complesso, quindi andrà a coprire anche il punto w=0.
Risponderei così al tuo suggerimento
Potrei qundi svilupparla in serie prendendo w ainfinito, cioè così che sia e elevato a una t->0, con t=1/w. D'altra parte lo sviluppo vale su tutto il piano complesso, quindi andrà a coprire anche il punto w=0.
Risponderei così al tuo suggerimento
Parole in libertà.
Qual è la definizione di singolarità essenziale?
Qual è la definizione di singolarità essenziale?
Ammetto di aver dato fondo alla definizione che sapevo, cioè come dicevp che la serie di laurent ha infiniti termini singolari (esponenti negativi) da cui infiniti coefficienti dell'espansione.
Siccome voglio espanderla per L. in w=0
La mia idea era usare l'espansione di taylor centrandola w a infinito ,cioè sfruttarne mclaurin di 1/w (tanto l'espansione esponenziale converge su tutto il piano di qrgand gauss) dunque funziona anche nel punto con w=0.
A quel punto reinterpretando l'espansione avrei tutti 1/w elevati ad un numero "n", cioe tutti termini singolari
Ti prego correggimi
Siccome voglio espanderla per L. in w=0
La mia idea era usare l'espansione di taylor centrandola w a infinito ,cioè sfruttarne mclaurin di 1/w (tanto l'espansione esponenziale converge su tutto il piano di qrgand gauss) dunque funziona anche nel punto con w=0.
A quel punto reinterpretando l'espansione avrei tutti 1/w elevati ad un numero "n", cioe tutti termini singolari
Ti prego correggimi
"dargo":
Ammetto di aver dato fondo alla definizione che sapevo, cioè come dicevp che la serie di laurent ha infiniti termini singolari (esponenti negativi) da cui infiniti coefficienti dell'espansione.
“Come dicevo”...
"dargo":
Il fatto che abbia infinite potenze negative del "polinomio" (bruttura lo so, ma per spiegare).
Potrei qundi svilupparla in serie prendendo w ainfinito, cioè così che sia e elevato a una t->0, con t=1/w. D'altra parte lo sviluppo vale su tutto il piano complesso, quindi andrà a coprire anche il punto w=0.
Dove lo dicevi? “Serie di Laurent”, ad esempio, dov’è?
Una definizione è va scritta così com’è data, le spiegazioni intuitive vengono dopo (o prima, a seconda dello stile di scrittura).
"dargo":
Siccome voglio espanderla per L. in w=0
La mia idea era usare l'espansione di taylor centrandola w a infinito ,cioè sfruttarne mclaurin di 1/w (tanto l'espansione esponenziale converge su tutto il piano di qrgand gauss) dunque funziona anche nel punto con w=0.
A quel punto reinterpretando l'espansione avrei tutti 1/w elevati ad un numero "n", cioe tutti termini singolari
Il cambiamento di variabile $w=1/z$ porta a considerare la funzione ausiliaria $g(z) := e^z$, la quale ha sviluppo in serie di potenze centrato in $0$ del tipo:
\[
\tag{A} e^z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\ z^n \; .
\]
Dato che tale sviluppo converge in un intorno (forato) di $oo$ e dato che lo sviluppo in serie di Laurent è unico, la (A) fornisce anche lo sviluppo in serie di Laurent di $g(z)$ intorno a $oo$.
La sostituzione “a ritroso” $z=1/w$ fornisce lo sviluppo in serie:
\[
\tag{B} e^{1/w} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{w^n}
\]
convergente in un intorno forato di $0$; nuovamente per unicità dello sviluppo in serie di Laurent, la (B) fornisce lo sviluppo di Laurent in $0$ di $f(w)$.
Ovviamente hai ragione, non so perché ma pensavo definirlo a parole mie fosse meglio, per far capire ci avessi ragionato. La definizione è la seconda ovviamente.
L'unica cosa che non mi è chiarissima è "intorno forato di infinito" nel senso che infinito non è un punto in quanto tale, mi rendo conto sia strano ma non l'avevo mai sentito
Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto, le tue risposte sono sempre limpide e chiarificatrici. Ho capito ora.
L'unica cosa che non mi è chiarissima è "intorno forato di infinito" nel senso che infinito non è un punto in quanto tale, mi rendo conto sia strano ma non l'avevo mai sentito
Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto, le tue risposte sono sempre limpide e chiarificatrici. Ho capito ora.
Infatti “forato” l’ho messo tra parentesi… In realtà, quando scrivevo, pensavo alla rappresentazione di $CC$ sulla sfera di Riemann, rappresentazione in cui il punto all’infinito $oo$ diventa un punto “vero e proprio”. Questo spiega l’uso del termine che ti è parso strano. 
Grazie per la precisazione
Ciao gugo,
Stavo leggendo questa interessante discussione perché sono alle prese con lo studio di sviluppi di Laurent, e trovo un dubbio nella parte sottolineata del quote.
Non capisco il passaggio quando affermi che per l'unicità dello sviluppo allora sicuramente lo sviluppo "attorno a infinto" avrà quella espressione. E' vero che lo sviluppo attorno a zero che hai scritto converge in ongi punto es: z=2,4,7,...,infinito però non mi pare che attorno ad ogni punto abbia la stessa forma, ad esempio attorno a z=2 ha una espressione totalmente diversa, avrà dei coefficienti moltiplicati per $(z-2)^n$ ad esempio. Perché quindi a infinito dovrebbe tornare ad essere quella indicata (A) con $z^n$?
Spero qualcuno abbia voglia di chiarire il dubbio che mi preseguita.
Stavo leggendo questa interessante discussione perché sono alle prese con lo studio di sviluppi di Laurent, e trovo un dubbio nella parte sottolineata del quote.
"gugo82":
Il cambiamento di variabile $w=1/z$ porta a considerare la funzione ausiliaria $g(z) := e^z$, la quale ha sviluppo in serie di potenze centrato in $0$ del tipo:
\[
\tag{A} e^z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\ z^n \; .
\]
Dato che tale sviluppo converge in un intorno (forato) di $oo$ è dato che lo sviluppo in serie di Laurent è unico, la (A) fornisce anche lo sviluppo in serie di Laurent di $g(z)$ intorno a $oo$.
Non capisco il passaggio quando affermi che per l'unicità dello sviluppo allora sicuramente lo sviluppo "attorno a infinto" avrà quella espressione. E' vero che lo sviluppo attorno a zero che hai scritto converge in ongi punto es: z=2,4,7,...,infinito però non mi pare che attorno ad ogni punto abbia la stessa forma, ad esempio attorno a z=2 ha una espressione totalmente diversa, avrà dei coefficienti moltiplicati per $(z-2)^n$ ad esempio. Perché quindi a infinito dovrebbe tornare ad essere quella indicata (A) con $z^n$?
Spero qualcuno abbia voglia di chiarire il dubbio che mi preseguita.
Com'è fatto lo sviluppo di Laurent di una funzione (definita in un intorno circolare di infinito) centrato in $oo$?
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