Classificazione di singolarità di funzioni complesse

[Angus1956]

Classificare le singolarità della funzione $f(z)=z/sin(z)$, dire cioè se si tratta di singolarità rimovibili ( in tal caso dire quale valore va dato alla funzione affinchè risulti olomorfa in quel punto), poli (in tal caso dire di che ordini) o singolarità essenziali.

Abbiamo che $f(z)=(2ize^(iz))/(e^(2iz)-1)$, se sviluppiamo la funzione in serie di Taylor in un intorno di $0$ otteniamo $(2iz)/(2iz)=1$ quindi $0$ è una singolarità rimovibile e il valore che va dato alla funzione affinchè risulti olomorfa in quel punto è $1$. Per i punti della forma $z=pit$ con $t \in ZZ$ e $t!=0$ sviluppando in serie di Taylor in un intorno di $pit$ otteniamo $(pit)/(z-pit)$ in teoria i punti della forma $z=pit$ dovrebbero essere poli di ordine $1$ però da quello che risulta non sembra esistere $n in NN_(>=1)$ tale che $(z-pi t)^nf(z)$ abbia una singolarità rimovibile, se qualcuno mi sa dire ? Grazie

[gugo82]

I limiti notevoli valgono anche in campo complesso.

[Angus1956]

"gugo82":I limiti notevoli valgono anche in campo complesso.

Si, ma non ho capito la perchè effettivamente quelli sarebbero poli di ordine $1$

[pilloeffe]

Beh, perché si ha:

$ \lim_{z \to \pi t} (z-\pi t)f(z) = \lim_{z \to \pi t} (z-\pi t) \cdot z/sin(z) = \pi t (-1)^t $

$t \in \ZZ $

Il risultato del limite è diverso da $0$ se $t \ne 0 $

[Angus1956]

Ok, grazie.

[gugo82]

"andreadel1988":[quote="gugo82"]I limiti notevoli valgono anche in campo complesso.

Si, ma non ho capito la perchè effettivamente quelli sarebbero poli di ordine $1$[/quote]
Il problema è: sai calcolare i limiti coi limiti notevoli di Analisi I?
Se sì, la risposta è ovvia; se no, ti consiglio vivamente di andarti a rivedere questo argomento prima di metterti a calcolare limiti in campo complesso.