Capire la convergenza dominata di Lebesgue

[tommy1996q]

Salve a tutti!
Volevo verificare di aver capito questo teorema https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... a_dominata .La convergenza di cui parla di che tipo è? Mi sembra che non sia puntuale né uniforme, ma una specie di "convergenza puntuale quasi ovunque" grazie alla quale (e grazie al fatto che l'integrale di Lebesgue se ne frega di cose fanno le funzioni in un insieme di misura zero) posso portare il limite sotto al segno di integrale nell'enunciato del teorema.

La domanda quinndi è: formalmente, che tipo di convergenza ho? Alla fine dell'enunciato si dice "$f_n$ converge a $f$ in $L^1$". Cosa significa precisamente questo?

P.S. Ho ben presenti solo la convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale, credo che questo sia un altro tipo, più debole di queste...

[spugna2]

$L^1$ è lo spazio (vettoriale) delle funzioni misurabili il cui valore assoluto ha integrale finito, e su tale spazio è definita la norma $||f||=\int_X |f| d mu$, e quindi la distanza $d(f,g)=||f-g||$ (è effettivamente una distanza a patto di identificare le funzioni che coincidono quasi ovunque): a questo punto convergere in $L_1$ significa convergere rispetto a tale distanza, cioè le distanze dal punto limite tendono a $0$.

[tommy1996q]

Quindi, appunto, sarebbe una specie di "convergenza puntuale quasi ovunque"? Anzi, ora che ci penso, se il dominio delle funzioni della successione è un insieme misurabile di misura finita, la convergenza dovrebbe essere uniforme a meno di un insieme di misura nulla (teorema di Egorov)

[dissonance]

No, non è una convergenza puntuale. È la convergenza in $L^1$, non c'è molto altro da aggiungere. Se vuoi informazioni sui vari modi di convergenza, ti consiglio questa lezione di Terence Tao:

https://terrytao.wordpress.com/2010/10/ ... nvergence/

C'è anche almeno un maxi-post di Gugo sull'argomento su questo forum.