Calcolo residuo all'infinito

[Romina95]

Buongiorno, sto svolgendo un esercizio di analisi complessa ma alla richiesta del residuo all'infinito mi sono bloccata poiché non so come gestire la dipendenza dal parametro alfa. La funzione complessa è
$ f(z) = 1/(z(1+z)^alpha $ alpha appartiene a C

Inizialmente ho sviluppato in serie di Laurent per calcolare il residuo in 0, ottenendo

$ f(z) = sum(( (-alpha), (k) )z^(k-1) ) $

Da cui il residuo in 0 è 1

Per quello all'infinito ho provato a cambiare variabile con 1\u ed espandere in serie di Laurent attorno u=0 ma dato che gli esponenti di u dipendono da alpha, non so quale devo considerare. Ho anche provato a cercare il residuo in -1 per poi trovare quello all'infinito facendo la differenza, ma dovrei fare una derivata alpha -1 che essendo alpha complesso non so come gestire. Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Grazie molte!

[gugo82]

Visto che $alpha in CC$ la funzione assegnata è polidroma analitica (a parte i casi $alpha in ZZ$ nei quali essa è monodroma) e $-1$ è un punto di diramazione, quindi non mi pare abbia granché senso andarci a calcolare il residuo.
Ti consiglierei di andare a chiedere al docente.

Ad ogni modo, comincia col caso facile, cioè con $alpha in ZZ$, e vedi cosa succede (così hai qualche cosa da mostrare al prof, se vai a ricevimento); poi prova a generalizzare.