Calcolo integrale con logaritmo e poli reali

[Archwing]

Ciao a tutti. Ho difficoltà a calcolare il seguente integrale

$\int_{0}^{+\infty}{ln(x)}/{x^2+3x+2}dx$

Il procedimento che ho usato è il seguente.

Pongo $f(z)={log(z)}/{z^2+3z+2}$

Le singolarità sono $z=-1$ e $z=-2$ entrambi sono poli semplici. Mentre i residui sono

$Res(f(z),-1)=\lim_{x \to -1}{log(z)}/{z+2}=i\pi$
$Res(f(z),-2)=\lim_{x \to -2}{log(z)}/{z+1}=-ln(2)-i\pi$

Poi non sono riuscito a continuare.

Ho provato a calcolarlo con lo stesso metodo per gli integrali con le funzioni polidrome $x^{1/p}$ usando come percorso di integrazione il semicerchio "bucato" intorno all'origine ma niente da fare.

Il risultato del professore è ${[ln(2)]^2}/{2}$

Potete, per favore, farmi vedere come si risolve?

[anonymous_0b37e9]

Puoi procedere mediante la funzione ausiliaria $[f(z)=ln^2z/(z^2+3z+2)]$ e integrando lungo il percorso sottostante:



ricordando che $[lnz=lnx]$ sul taglio superiore e $[lnz=lnx+2\pii]$ sul taglio inferiore:

$\int_{r}^{R}ln^2x/(x^2+3x+2)dx+\int_{C_R}f(z)dz-\int_{r}^{R}(lnx+2\pii)^2/(x^2+3x+2)dx+\int_{C_r}f(z)dz=$

$=2\pii[Res(f(z),-2)+Res(f(z),-1)] rarr$

$rarr \int_{C_R}f(z)dz-4\pii\int_{r}^{R}lnx/(x^2+3x+2)dx+4\pi^2\int_{r}^{R}1/(x^2+3x+2)dx+\int_{C_r}f(z)dz=$

$=2\pii[Res(f(z),-2)+Res(f(z),-1)]$

Passando al limite, per i lemmi del piccolo e del grande cerchio:

$-4\pii\int_{0}^{+oo}lnx/(x^2+3x+2)dx+4\pi^2\int_{0}^{+oo}1/(x^2+3x+2)dx=2\pii[Res(f(z),-2)+Res(f(z),-1)]$

Infine, poiché:

$[\int_{0}^{+oo}1/(x^2+3x+2)dx=\int_{0}^{+oo}(1/(x+1)-1/(x+2))dx=[ln((x+1)/(x+2))]_0^(+oo)=ln2$

$[Res(f(z),-2)=-(ln2+\pii)^2] ^^ [Res(f(z),-1)=-\pi^2]$

si ottiene:

$-4\pii\int_{0}^{+oo}lnx/(x^2+3x+2)dx+4\pi^2ln2=2\pii[-(ln2+\pii)^2-\pi^2] rarr$

$rarr [\int_{0}^{+oo}lnx/(x^2+3x+2)dx=1/2ln^(2)2]$

[Archwing]

Grazie mille.