Calcolo di una serie tramite integrazione complessa
Buongiorno e buone vacanze a tutti!
Sono bloccato sul seguente esercizio:
Prendo $f(z)=\frac{1}{z^2(z^2+a^2)}$ e scelgo $\epsilon
Dunque ottengo, usando il teorema dei residui, che
$2S(a)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\oint_{\Gamma}\frac{dz}{2\pi i}f(z)\cot(\pi z)-\pi/a^2$.
Sto però avendo serie difficoltà a stimare l'integrale: sono abbastanza sicuro che gli integrali sui segmenti orizzontali si elidano a vicenda, almeno come valori principali, e i miei tentativi di cambiare variabili per ottenere qualcosa di calcolabile sui lati corti non ha dato frutti. Qualcuno ha idee?
Sono bloccato sul seguente esercizio:
Prendo $f(z)=\frac{1}{z^2(z^2+a^2)}$ e scelgo $\epsilon
Dunque ottengo, usando il teorema dei residui, che
$2S(a)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\oint_{\Gamma}\frac{dz}{2\pi i}f(z)\cot(\pi z)-\pi/a^2$.
Sto però avendo serie difficoltà a stimare l'integrale: sono abbastanza sicuro che gli integrali sui segmenti orizzontali si elidano a vicenda, almeno come valori principali, e i miei tentativi di cambiare variabili per ottenere qualcosa di calcolabile sui lati corti non ha dato frutti. Qualcuno ha idee?
Risposte
Una cosa è sicura. La funzione che hai scelto:
non è analitica all'interno del rettangolo. Insomma, il tuo procedimento non rispetta le ipotesi del suggerimento.
$f(z)=1/(z^2(z^2+a^2))$
non è analitica all'interno del rettangolo. Insomma, il tuo procedimento non rispetta le ipotesi del suggerimento.
"anonymous_0b37e9":
Una cosa è sicura. La funzione che hai scelto:
$f(z)=1/(z^2(z^2+a^2))$
non è analitica all'interno del rettangolo. Insomma, il tuo procedimento non rispetta le ipotesi del suggerimento.
In effetti il suggerimento mi pare quantomeno inutile, se non fuorviante. Ho comunque trovato un'altra soluzione, che ora cerco di riordinare e pubblicherò, per completezza
Perdonate l'orribile formato dello svolgimento ma era davvero troppo da trascrivere in LateX. Ho glissato su alcuni aspetti, soprattutto quelli già discussi nel post originale. Ho invece speso qualche riga sugli sviluppi. Non so quanto sia costruttivo ricavare lo sviluppo di coth fino al quart'ordine, ma dubito anche possa essere considerato cultura generale. Invece $\pi^4/90$... Beh, i fisici lo conoscono!
Ciao sphyr,
Per prima cosa considererei che $1/(z^2(z^2 + a^2)) = 1/(a^2 z^2) - 1/(a^2 (z^2 + a^2)) $, quindi considerando la prima funzione $ 1/(a^2 z^2) $ (vedi ad esempio qui) si ottiene:
$1/a^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/(6a^2) $
Invece per la seconda funzione con analogo ragionamento sui residui si ottiene:
$1/a^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2 + a^2) = pi/(2a^3) coth(\pi a) - 1/(2a^4) $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2(n^2 + a^2)} = \frac{1}{a^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{a^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi^2}{6a^2} - \frac{\pi}{2a^3}\coth(\pi a) + \frac{1}{2a^4} = S(a)}
\end{equation*}
Lascio a te verificare che si ha:
\begin{equation*}
\boxed{S(0) := \lim_{a \to 0} S(a) = \frac{\pi^4}{90}}
\end{equation*}
Per prima cosa considererei che $1/(z^2(z^2 + a^2)) = 1/(a^2 z^2) - 1/(a^2 (z^2 + a^2)) $, quindi considerando la prima funzione $ 1/(a^2 z^2) $ (vedi ad esempio qui) si ottiene:
$1/a^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/(6a^2) $
Invece per la seconda funzione con analogo ragionamento sui residui si ottiene:
$1/a^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2 + a^2) = pi/(2a^3) coth(\pi a) - 1/(2a^4) $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2(n^2 + a^2)} = \frac{1}{a^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{a^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi^2}{6a^2} - \frac{\pi}{2a^3}\coth(\pi a) + \frac{1}{2a^4} = S(a)}
\end{equation*}
Lascio a te verificare che si ha:
\begin{equation*}
\boxed{S(0) := \lim_{a \to 0} S(a) = \frac{\pi^4}{90}}
\end{equation*}
Grazie mille per la soluzione più slick Pilloeffe!
D'altronde è stata proprio quella pagina che citi tu a suggerirmi di non usare il dominio dato nell'"hint" del problema... Ormai sono abituato troppo bene con esercizi in cui tutti i pezzi dell'integrale tendono a 0, hehe
D'altronde è stata proprio quella pagina che citi tu a suggerirmi di non usare il dominio dato nell'"hint" del problema... Ormai sono abituato troppo bene con esercizi in cui tutti i pezzi dell'integrale tendono a 0, hehe
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