Calcolo di un integrale con il teorema dei residui

[Nexus991]

$I = \int_{0}^{2 \pi} \frac {d \theta}{a+b cos( \theta)}$
$ 0
Io ho provato cosi:
Innanzitutto si effettuano le sostituzioni: $z = e^{i \theta}$ e $cos(\theta) = \frac{z+z^-1}{2}$

L'integrale si riduce a:

$\int_{\gamma_{(0,1)}}^{} \frac {2b}{i} \frac{1}{z^2 + \frac{2a}{b} z +1} dz $


Le singolarità dell'integranda $f(z)$ sono dei poli semplici, e, corrispondono ai punti in cui si annulla il denominatore, cioè a:
$z_1 = \frac{1}{b}(a + \sqrt{a^2 - b^2})$
$z_2 = \frac{1}{b}(a - \sqrt{a^2 - b^2})$


Si vuole capire ora quali punti sono esterni e quali interni a $\gamma$:
Impongo le condizioni:
$ | z_1 | < 1 $
$ | z_2 | < 1 $

Che equivalgono ai 2 sistemi:
$ a + \sqrt{a^2 - b^2} < b \wedge a + \sqrt{a^2 - b^2} > - b $
$ a - \sqrt{a^2 - b^2} < b \wedge a - \sqrt{a^2 - b^2} > - b $

Il primo non ha soluzione, infatti $\sqrt{a^2 - b^2} > 0$, dunque la prima disequazione non è mai soddisfatta. Il secondo ha sempre soluzione, dunque $z_2$ è interno.

Allora mi aspetto:
$ I = 2 \pi i Res_{z = z_2} f(z) = 2 \pi i [(z - z_2) f(z)]_{z=z_2} = -\frac{2 \pi}{\sqrt{a^2 - b^2}$

Questo risultato è assurdo, infatti l'integranda $f(\theta)$ è maggiore di 0 sempre, inoltre controllando su wolfram alpha il risultato giusto sembrerebbe essere $\frac{2 \pi}{\sqrt{a^2 - b^2}$, dunque $z_1$ interno.
Non mi trovo su questa cosa però, dove sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao Nexus99,

Ti confermo che si ha:

$ I = \int_{0}^{2 \pi} \frac {\text{d} \theta}{a+b cos\theta} = \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2 - b^2} $

con $0 < b < a $

Però sostituendo $z = e^{i\theta} \implies \text{d}z = i e^{i \theta} \text{d}\theta = i z \text{d}\theta $ si ha:

$ \int_{|z| = 1} \frac {\text{d} z}{iz} \cdot \frac{1}{a+b \frac{z+z^-1}{2}} = \int_{|z| = 1} \frac {\text{d} z}{i} \cdot \frac{1}{a z+ b \frac{z^2}{2} + b/2} = \int_{|z| = 1} \frac {2\text{d} z}{i} \cdot \frac{1}{2a z+ b z^2 + b} =$
$ = \int_{|z| = 1} \frac {2}{i b} \cdot \frac{\text{d} z}{z^2 + 2a/b z + 1} $

Occhio poi a $z_1 $ e $z_2$ perché sono errate...

[Nexus991]

Ah cavolo, hai ragione.
Ora ho rifatto i calcoli e mi viene, grazie.