Calcolo di un integrale con formula dei residui
Devo calcolare quest'integrale
$\int_{0}^{2\pi} 1/(7cos(theta)+8)^2 d theta $
utilizzando il Teorema dei Residui ma non saprei come procedere
$\int_{0}^{2\pi} 1/(7cos(theta)+8)^2 d theta $
utilizzando il Teorema dei Residui ma non saprei come procedere
Risposte
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Perciò proseguendo devo indentificare gli zeri del denominatore per trovare i poli di $f(z)$ e calcolo il residuo in corrispondenza degli zeri che si trovano in $B(0,1)$?
In tal caso trovo che gli zeri del denominatore corrispondono a:
$z_1=0, 7/2(z+z^-1)-8=0 --> 7/2z^2-8z+7/2=0 --> z_(2,3)=(8+-sqrt(15))/7$
dei quali soltanto $z_1$ e $z_3$ sono interni a $B(0,1)$ e sono rispettivamente un polo del primo e del secondo ordine.
Calcolo poi il residuo corrispondente
$Res(f,z_1=0)=lim_(z->0)(-i/(7/2(z+z^-1)+8)^2)=-i/15^2$
$Res(f,z_3=(8-sqrt(15))/7)=lim_(z->z_3)((del)/(delz)(-iz/(z-z_2)^2))=lim_(z->z_3)(-i((z-z_3)-2z)/(z-z_3)^3)=2i/(15sqrt(15))$
Finisco utilizzando il Teorema dei residui e ottengo che:
$int_0^2(pi) 1/(7cos(theta)+8)^2 d theta = 2pii(-i/15^2+2i/(15sqrt(15)))=(2pi-4sqrt(15)pi)/15^2$
Tralasciando possibili errori di calcolo mi dite se il procedimento è giusto?
In tal caso trovo che gli zeri del denominatore corrispondono a:
$z_1=0, 7/2(z+z^-1)-8=0 --> 7/2z^2-8z+7/2=0 --> z_(2,3)=(8+-sqrt(15))/7$
dei quali soltanto $z_1$ e $z_3$ sono interni a $B(0,1)$ e sono rispettivamente un polo del primo e del secondo ordine.
Calcolo poi il residuo corrispondente
$Res(f,z_1=0)=lim_(z->0)(-i/(7/2(z+z^-1)+8)^2)=-i/15^2$
$Res(f,z_3=(8-sqrt(15))/7)=lim_(z->z_3)((del)/(delz)(-iz/(z-z_2)^2))=lim_(z->z_3)(-i((z-z_3)-2z)/(z-z_3)^3)=2i/(15sqrt(15))$
Finisco utilizzando il Teorema dei residui e ottengo che:
$int_0^2(pi) 1/(7cos(theta)+8)^2 d theta = 2pii(-i/15^2+2i/(15sqrt(15)))=(2pi-4sqrt(15)pi)/15^2$
Tralasciando possibili errori di calcolo mi dite se il procedimento è giusto?
Ciao Massenzio,
Non mi torna, in particolare non capisco perché in $z = 0$ dovrebbe esserci un polo, dato che il $z^2$ che deriva dall'elevamento al quadrato si semplifica con l'$i z$ di cui alla risposta di sellacollesella.
L'integrale proposto mi risulta essere uguale a $\frac{16\pi}{15\sqrt15} $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui e qui.
Mi è venuto in mente un altro "sporco trucchetto" che ho già utilizzato altrove...
Si ha:
$\frac{\partial}{\partial a}[\frac{1}{a + b cos\theta}] = - \frac{1}{(a + b cos\theta)^2} $
Integrando nell'intervallo fra $0$ e $2\pi $ e sfruttando il risultato $ \int_0^{2\pi} 1/(a + b cos\theta) \text{d}\theta = (2\pi)/\sqrt{a^2 - b^2} $ valido per $a > |b| $ del primo link che ti ho inviato si ha:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{(a + b cos \theta)^2} \text{d}\theta = - \frac{\partial}{\partial a}[\frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}}] = \frac{2\pi a}{(a^2 - b^2)^{3/2}} $
Nel caso in esame $a = 8 > |b| = 7 $, sicché si ottiene proprio il risultato già menzionato:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{(8 + 7 cos\theta)^2} \text{d}\theta = \frac{16 \pi}{(8^2 - 7^2)^{3/2}} = \frac{16 \pi}{15 \sqrt15} $
Non mi torna, in particolare non capisco perché in $z = 0$ dovrebbe esserci un polo, dato che il $z^2$ che deriva dall'elevamento al quadrato si semplifica con l'$i z$ di cui alla risposta di sellacollesella.
L'integrale proposto mi risulta essere uguale a $\frac{16\pi}{15\sqrt15} $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui e qui.
Mi è venuto in mente un altro "sporco trucchetto" che ho già utilizzato altrove...
Si ha:
$\frac{\partial}{\partial a}[\frac{1}{a + b cos\theta}] = - \frac{1}{(a + b cos\theta)^2} $
Integrando nell'intervallo fra $0$ e $2\pi $ e sfruttando il risultato $ \int_0^{2\pi} 1/(a + b cos\theta) \text{d}\theta = (2\pi)/\sqrt{a^2 - b^2} $ valido per $a > |b| $ del primo link che ti ho inviato si ha:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{(a + b cos \theta)^2} \text{d}\theta = - \frac{\partial}{\partial a}[\frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}}] = \frac{2\pi a}{(a^2 - b^2)^{3/2}} $
Nel caso in esame $a = 8 > |b| = 7 $, sicché si ottiene proprio il risultato già menzionato:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{(8 + 7 cos\theta)^2} \text{d}\theta = \frac{16 \pi}{(8^2 - 7^2)^{3/2}} = \frac{16 \pi}{15 \sqrt15} $
@Massenzio: Hai chiesto un parere sul procedimento, ma mi sento di darti un consiglio non richiesto. Dato che in questi esercizi potresti fare una marea di conti, il consiglio è: impara un paio di trucchi per vedere a occhio se stai sbagliando. Un trucco è quello di usare la monotonia dell'integrale per stabilire se, quantomeno, il segno dell'integrale da te calcolato è corretto: per monotonia, hai che l'integrale di una funzione positiva su un intervallo positivamente orientato (ossia, su un intervallo \([a,b]\) con \(a
Dato che \(1/(7\cos \theta+8)^2 > 0\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\) e dato che \([0,2\pi]\) è positivamente orientato, deduci che l'integrale da te proposto è necessariamente positivo. Da \(\sqrt{15}>1/2\), deduci che \((2\pi-4\sqrt{15}\pi)/15^2 < 0\) e quindi hai sicuramente sbagliato qualcosa. Potrebbero essere conti o procedimento, ma è importante avere degli strumenti che ti mettano velocemente al corrente che c'è qualcosa che non va da qualche parte (specialmente in casi di tempo limitato, come può essere un esame, o più in generale per avere una conoscenza più critica di ciò che si sta facendo).
Puoi ottenere una stima del valore dell'integrale ragionando, ad esempio, come segue: da \(-1 \le \cos \theta \le 1\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\), segue \(1 \le 7\cos \theta + 8 \le 15\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\) e quindi, per crescente monotonia del quadrato sui non negativi e decrescente monotonia del reciproco sui positivi, è \(1/15^2 \le 1/(7 \cos \theta + 8)^2 \le 1\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\). Da ciò segue, per monotonia dell'integrale, che:
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{15^2} \text{d}\theta \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{(7\cos \theta + 8)^2} \text{d}\theta \le \int_0^{2\pi} 1 \text{d}\theta
\]
Ossia:
\[
\frac{2\pi}{15^2} \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{(7\cos \theta + 8)^2} \text{d}\theta \le 2\pi
\]
Dato che \(1/(7\cos \theta+8)^2 > 0\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\) e dato che \([0,2\pi]\) è positivamente orientato, deduci che l'integrale da te proposto è necessariamente positivo. Da \(\sqrt{15}>1/2\), deduci che \((2\pi-4\sqrt{15}\pi)/15^2 < 0\) e quindi hai sicuramente sbagliato qualcosa. Potrebbero essere conti o procedimento, ma è importante avere degli strumenti che ti mettano velocemente al corrente che c'è qualcosa che non va da qualche parte (specialmente in casi di tempo limitato, come può essere un esame, o più in generale per avere una conoscenza più critica di ciò che si sta facendo).
Puoi ottenere una stima del valore dell'integrale ragionando, ad esempio, come segue: da \(-1 \le \cos \theta \le 1\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\), segue \(1 \le 7\cos \theta + 8 \le 15\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\) e quindi, per crescente monotonia del quadrato sui non negativi e decrescente monotonia del reciproco sui positivi, è \(1/15^2 \le 1/(7 \cos \theta + 8)^2 \le 1\) per ogni \(\theta \in [0,2\pi]\). Da ciò segue, per monotonia dell'integrale, che:
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{15^2} \text{d}\theta \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{(7\cos \theta + 8)^2} \text{d}\theta \le \int_0^{2\pi} 1 \text{d}\theta
\]
Ossia:
\[
\frac{2\pi}{15^2} \le \int_0^{2\pi} \frac{1}{(7\cos \theta + 8)^2} \text{d}\theta \le 2\pi
\]
Grazie mille a tutti/e delle risposte, ho rifatto l'esercizio e avevo sbagliato alcuni raccoglimenti dopo aver trovato le radici del denominatore.
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