Calcola l'integrale usando il teorema dei residui
buongiorno a tutti, è un esercizio molto semplice ma non riesco ad eseguire le sostituzioni necessarie per proseguire. Vi propongo prima l'esercizio e poi dove sono arrivato io e dove dovrei arrivare.
Calcolare l' integrale \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin{(x)}+\cos{(x)}} \,dx \) facendo uso del teorema dei residui.
Note le formule di Eulero, parametrizzo la funzione sulla circonferenza \(\gamma\) percorsa in senso antiorario \(0\leq \theta<2\pi\).
\(\sin{(\theta)}=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \,;\, \cos{(\theta)}=\frac{e^{i\theta}+e^{i\theta}}{2}\)
con \(dx=ie^{i\theta}d\theta\) [questo è per dopo]
quindi sostituisco:
\( \frac{1}{2+\sin{(x)}+\cos{(x)}} =\frac{1}{2+\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}+\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}= \frac{1}{2+\frac{1}{2}e^{i\theta}(1-i)+\frac{1}{2}e^{-i\theta}(1+i)}=\) e qui mi incarto perché dovrei arrivare a scrivere
\(=\dots= \frac{i(1-i)z}{i+2(1+i)z+z^2}\)
non riesco a capire i passaggi che devo fare per ottenere l'ultima frazione. Potete aiutarmi per favore?
Calcolare l' integrale \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin{(x)}+\cos{(x)}} \,dx \) facendo uso del teorema dei residui.
Note le formule di Eulero, parametrizzo la funzione sulla circonferenza \(\gamma\) percorsa in senso antiorario \(0\leq \theta<2\pi\).
\(\sin{(\theta)}=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \,;\, \cos{(\theta)}=\frac{e^{i\theta}+e^{i\theta}}{2}\)
con \(dx=ie^{i\theta}d\theta\) [questo è per dopo]
quindi sostituisco:
\( \frac{1}{2+\sin{(x)}+\cos{(x)}} =\frac{1}{2+\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}+\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}= \frac{1}{2+\frac{1}{2}e^{i\theta}(1-i)+\frac{1}{2}e^{-i\theta}(1+i)}=\) e qui mi incarto perché dovrei arrivare a scrivere
\(=\dots= \frac{i(1-i)z}{i+2(1+i)z+z^2}\)
non riesco a capire i passaggi che devo fare per ottenere l'ultima frazione. Potete aiutarmi per favore?
Risposte
Beh, $z=e^(i theta)$…
"gugo82":
Beh, $z=e^(i theta)$…
Che scemo a non averlo visto subito.......
Il problema che ancora non mi torna un segno meno al denominatore!! e ho rifatto i conti tre volte....
Mi viene: \(
\frac{i(1-i)z}{i+2(1-i)z+z^2} \)
e al prof viene:
\(\frac{i(1-i)z}{i+2(1+i)z+z^2}\)
sto impazzendo.....
Ciao leomagicabula,
Perché tutte queste variabili?
L'integrale proposto è del tipo seguente:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta $
Con le formule che hai già richiamato (attenzione che quella del coseno è errata, ci deve essere un $e^{-i\theta} $) si ha:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} F(\frac{z + z^-1}{2}, \frac{z - z^-1}{2i}) (\text{d}z)/(iz) $
Pertanto nel caso dell'integrale proposto mi risulta quanto segue:
$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin\theta+\cos\theta} \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2 + \frac{z - z^-1}{2i}+ \frac{z + z^-1}{2}} (\text{d}z)/(iz) = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2iz + \frac{z^2 - 1}{2}+ i\frac{z^2 + 1}{2}} \text{d}z = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{(1 + i)/2 z^2 + 2iz - (1 - i)/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z - (1 - i)^2/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z + i} = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2(1 + i)z + i} $
Perché tutte queste variabili?
L'integrale proposto è del tipo seguente:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta $
Con le formule che hai già richiamato (attenzione che quella del coseno è errata, ci deve essere un $e^{-i\theta} $) si ha:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} F(\frac{z + z^-1}{2}, \frac{z - z^-1}{2i}) (\text{d}z)/(iz) $
Pertanto nel caso dell'integrale proposto mi risulta quanto segue:
$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin\theta+\cos\theta} \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2 + \frac{z - z^-1}{2i}+ \frac{z + z^-1}{2}} (\text{d}z)/(iz) = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2iz + \frac{z^2 - 1}{2}+ i\frac{z^2 + 1}{2}} \text{d}z = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{(1 + i)/2 z^2 + 2iz - (1 - i)/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z - (1 - i)^2/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z + i} = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2(1 + i)z + i} $
"pilloeffe":
Ciao leomagicabula,
Perché tutte queste variabili?
L'integrale proposto è del tipo seguente:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta $
Con le formule che hai già richiamato (attenzione che quella del coseno è errata, ci deve essere un $e^{-i\theta} $) si ha:
$\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta) \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} F(\frac{z + z^-1}{2}, \frac{z - z^-1}{2i}) (\text{d}z)/(iz) $
Pertanto nel caso dell'integrale proposto mi risulta quanto segue:
$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin\theta+\cos\theta} \text{d}\theta = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2 + \frac{z - z^-1}{2i}+ \frac{z + z^-1}{2}} (\text{d}z)/(iz) = \int_{|z| = 1} \frac{1}{2iz + \frac{z^2 - 1}{2}+ i\frac{z^2 + 1}{2}} \text{d}z = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{(1 + i)/2 z^2 + 2iz - (1 - i)/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z - (1 - i)^2/2} = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2i(1 - i)z + i} = $
$ = \int_{|z| = 1} \frac{(1 - i)\text{d}z}{z^2 + 2(1 + i)z + i} $
l'errore dell'esponenziale è un errore di battitura, perfetto!! grazie mille anche per lo sbatti di scrivere tutti i passaggi!!!
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