\( (C[a,b], \left \| \cdot \right \|_{\infty} ) \) separabile
Dimostra che \( (C[a,b], \left \| \cdot \right \|_{\infty} ) \) e \( (C[a,b], \left< \cdot,\cdot \right> ) \) sono separabili.
Voglio dimostrare che l'insieme \( \mathbb{Q}[x] \subset C([a,b],\mathbb{R}) \) è denso in \( C[a,b] \), poiché se non erro, i polinomi a coefficienti razionali sono numerabili per un grado fissato \(k\) abbiamo una biiezione con \( \mathbb{N}^k \) che è numerabile sempre. E siccome abbiamo \(\mathbb{N} \) possibili gradi allora abbiamo una biiezione \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), ma non sono sicuro.
Usando il teorema di approssimazione di Weierstrass possiamo dire che se \( f \in C([a,b],\mathbb{R}) \), allora esiste un polinomio \(p\) a coefficenti reali tale che \( \left\| f- p \right\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} \).
Ora la mia domanda è questa: è vero che esiste un polinomio \(q\) a coefficienti razionali che approssima \(p \) nel seguente modo \( \left\| q- p \right\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} \). Se si allora ho finito poiché
\( \left\| f- q \right\|_{\infty} \leq \left\| f- p \right\|_{\infty} + \left\| q- p \right\|_{\infty} \leq \epsilon \).
Su \( C([a,b],\mathbb{C}) \) uso un'argomentazione del tutto simile a questa prendendo i polinomi a coefficienti in \( \mathbb{Q} + i \mathbb{Q} \).
Ora siccome \( \left\| f \right\|_2^2 = \left< f,g \right> \)
Abbiamo inoltre che per \(p \) un polinomio e \(f \in (C([a,b],F),\left< \cdot , \cdot \right>) \), con \(F=\mathbb{C} \) o \( F=\mathbb{R} \), otteniamo che per il punto precedente possiamo trovare \( \left\| f-p \right\|_{\infty} \leq \frac{\sqrt{\epsilon}}{\sqrt{b-a}} \) e dunque
\[ \left\| f - p \right\|_2^2 = \int_a^b \left| f(x) - p(t) \right|^2 dt \leq \left\| f-p \right\|_{\infty}^2 (b-a) \leq \epsilon \]
Voglio dimostrare che l'insieme \( \mathbb{Q}[x] \subset C([a,b],\mathbb{R}) \) è denso in \( C[a,b] \), poiché se non erro, i polinomi a coefficienti razionali sono numerabili per un grado fissato \(k\) abbiamo una biiezione con \( \mathbb{N}^k \) che è numerabile sempre. E siccome abbiamo \(\mathbb{N} \) possibili gradi allora abbiamo una biiezione \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), ma non sono sicuro.
Usando il teorema di approssimazione di Weierstrass possiamo dire che se \( f \in C([a,b],\mathbb{R}) \), allora esiste un polinomio \(p\) a coefficenti reali tale che \( \left\| f- p \right\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} \).
Ora la mia domanda è questa: è vero che esiste un polinomio \(q\) a coefficienti razionali che approssima \(p \) nel seguente modo \( \left\| q- p \right\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} \). Se si allora ho finito poiché
\( \left\| f- q \right\|_{\infty} \leq \left\| f- p \right\|_{\infty} + \left\| q- p \right\|_{\infty} \leq \epsilon \).
Su \( C([a,b],\mathbb{C}) \) uso un'argomentazione del tutto simile a questa prendendo i polinomi a coefficienti in \( \mathbb{Q} + i \mathbb{Q} \).
Ora siccome \( \left\| f \right\|_2^2 = \left< f,g \right> \)
Abbiamo inoltre che per \(p \) un polinomio e \(f \in (C([a,b],F),\left< \cdot , \cdot \right>) \), con \(F=\mathbb{C} \) o \( F=\mathbb{R} \), otteniamo che per il punto precedente possiamo trovare \( \left\| f-p \right\|_{\infty} \leq \frac{\sqrt{\epsilon}}{\sqrt{b-a}} \) e dunque
\[ \left\| f - p \right\|_2^2 = \int_a^b \left| f(x) - p(t) \right|^2 dt \leq \left\| f-p \right\|_{\infty}^2 (b-a) \leq \epsilon \]
Risposte
Certo che si può fare. Sei su \([a,b]\), basta approssimare i coefficienti di \(p\) con dei razionali.
Ci ho pensato anche io a questo, ma magari se i coefficienti del polinomio sono piccolissimi (perché faccio \(a_n - r_n \) dove \(a_n \) e \(r_n \) sono rispettivamente i coeff. di \(p \) e \(q \)) risultava comunque non possibile boundare sup del polinomio \( p-q \) con qualcosa di piccolissimo. Cioè direi di no (al fatto che non era possibile, doppia negazione quindi si alla mia domanda) perché i polinomi si comportano bene, ma non ero sicurissimo.
Prendi un binomio \( p(x) = c x^n + d x^m \) e successioni di razionali \( r_k \to c \), \( s_k \to d \). Definisci \( q_k (x) = r_k x^n + s_k x^m \); allora \[ |p(x) - q_k (x)| \le |c-r_k| |x|^n + |d-s_k| |x|^m \le |c-r_k| \max \{ |a|^n,|b|^n \} + |d-s_k| \max \{ |a|^m,|b|^m \} \]e hai la tua stima uniforme. Ovviamente ci sarebbe un problema se ammettessimo i casi \( a= -\infty \) e \( b=\infty\).
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