Banach-Tarski
Mi stavo domandando la seguente cosa:
So che il Teorema di Banach-Tarski non è equivalente al assioma della scelta, nel senso che J. Pawlikowski ha dimostrato che il teorema di Hahn-Banach implica il Teorema di Banach-Tarski, e il teorema di Hahn-Banach richiede una versione più debole del assioma della scelta, i.e. il lemma degli ultrafiltri che dice che ogni filtro proprio di \(X\) è contenuto in un ultrafiltro.
So che Banach-Tarski in un certo senso ci dice che ci sono sottoinsiemi di \( \mathbb{R}^3\) che non sono misurabili. Mi chiedevo se il risultato di Pawlikowski ci dicesse sostanzialmente che è possibile dare una misura finitamente additiva a tutti gli insiemi di \( \mathbb{R}^3\) ma che questa misura non è invariante per roto-traslazione, i.e che l'azione \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^3) \curvearrowright \mathbb{R}^3\) non è amenabile.
Quindi sostanzialmente dobbiamo rinunciare a qualcosa: se vogliamo una misura che sia invariante per roto-traslazione non possiamo misurare tutti gli insiemi, oppure se vogliamo misurarli tutti, la misura necessariamente non è invariante per roto-traslazione.
È sensato?
So che il Teorema di Banach-Tarski non è equivalente al assioma della scelta, nel senso che J. Pawlikowski ha dimostrato che il teorema di Hahn-Banach implica il Teorema di Banach-Tarski, e il teorema di Hahn-Banach richiede una versione più debole del assioma della scelta, i.e. il lemma degli ultrafiltri che dice che ogni filtro proprio di \(X\) è contenuto in un ultrafiltro.
So che Banach-Tarski in un certo senso ci dice che ci sono sottoinsiemi di \( \mathbb{R}^3\) che non sono misurabili. Mi chiedevo se il risultato di Pawlikowski ci dicesse sostanzialmente che è possibile dare una misura finitamente additiva a tutti gli insiemi di \( \mathbb{R}^3\) ma che questa misura non è invariante per roto-traslazione, i.e che l'azione \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^3) \curvearrowright \mathbb{R}^3\) non è amenabile.
Quindi sostanzialmente dobbiamo rinunciare a qualcosa: se vogliamo una misura che sia invariante per roto-traslazione non possiamo misurare tutti gli insiemi, oppure se vogliamo misurarli tutti, la misura necessariamente non è invariante per roto-traslazione.
È sensato?
Risposte
Mi pare di ricordare che ci sono modelli di ZF in cui tutti gli insiemi di numeri reali sono misurabili, non so se ti basta.
Non penso mi basti perché ad esempio nel modello di Solovay mi pare che tutti gli insiemi sono misurabili secondo Lebesgue ma non è vero Banach-Tarski.
Beh, si, la delta di Dirac è una misura, è pure numerabilmente additiva (e ridalle con queste misure finitamente additive, mamma mia che fissazione la tua! 
).
Stando al criterio di Caratheodory, tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla delta di Dirac, questo mi pare immediato. Ma naturalmente la delta di Dirac è ben lontana dall'essere invariante per traslazioni.
). Stando al criterio di Caratheodory, tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla delta di Dirac, questo mi pare immediato. Ma naturalmente la delta di Dirac è ben lontana dall'essere invariante per traslazioni.
Ci devo pensare perché sono fissato con il finitamente additivo.
OKay, il problema con le misure countably additive è che è troppo forte. Infatti un gruppo infinito non ammette mai una misura invariante e finita che è countably additiva. Una misura (numerabilmente o finitamente additiva) su un gruppo infinito deve dare misura zero a tutti i singleton e se è countably additiva allora deve dare misura zero anche a tutti gli insiemi numerabili per cui per esempio \( \mathbb{Z}\) non ammette misure invarianti che sono numerabilmente additive, però ammette misure finitamente additive invarianti.
Ok, capisco. In ogni caso la delta di Dirac è una risposta alla tua domanda iniziale.
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