Applicazione teorema dei residui

[matteo zarba]

Salve, risolvendo un esercizio mi è sorto un dubbio, l'esercizio è il seguente:
Risolvere il seguente integrale:
$ int_0^oo(xlogx)/(x^2+x+1)dx $
Chiaramente l'integrale non converge, lo calcolo comunque in valore principale, sfruttando successivamente il teorema dei residui.
Scelgo la funzione complessa:
$ g(z)=(zlog^2z)/(z^2+z+1) $
con relativa determinazione del logaritmo tale che:
$ -pi/2 A questo punto scelgo un dominio regolare:
$ T= {zin C: epsi<|z|0, 0 In $ T $ la funzione $ g $ è olomorfa, tranne che nel punto singolare $ e^(i2/3pi) $, posso applicare il teorema dei residui:
$ int_(+delT)g(z)dz=2pii*Res(g,e^(i2/3pi)) $
Per la propietà additiva dell'integrale:
$ int_-R^-epsi(x*[ln(-x)+ipi]^2)/(x^2+x+1)dx-int_(gammaepsi)g(z)dz+int_-R^-epsi(x*ln(x)^2)/(x^2+x+1)dx+int_(gammaR)g(z)dz=2pii*Res(g,e^(i2/3pi)) $
essendo $ gammaepsi $ e $ gammaR $ rispettivamente un semicerchio di raggio $ epsi $ e un semicerchio di raggio $ R $ entrambi sul semipiano $ im(z)>0 $
Provando a calcolare il limite del semicerchio di raggio $ R $ per $ Rrarr +oo $ , applicando il lemma del cerchio grande, ottengo:
$ lim_(z->oo)z*g(z)=lambda=+oo $
e quindi, per il suddetto lemma:
$ lim_(R->+oo)int_(gammaR)g(z)dz=ilambdapi=i*oo*pi=oo $
Solitamente, in tutti gli esercizi, ho sempre ottenuto un valore finito, ottenere un valore infinito sarebbe incorretto, dove sbaglio? Come posso risolvere questo problema? Grazie in anticipo

[matteo zarba]

Nessuno???

[gugo82]

Scusa, ma l’integrale non converge perché ci sono problemi solo in $+oo$… Quindi come vuoi che da quei calcoli esca fuori qualcosa di sensato?

Non è che c’è un errore nel testo e la $x$ è al denominatore?